Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

Assim,
S(v1,...,vn) =T (−a1, a2,...,(−1) n an).
S(v1,...,vn) modp = S(v1,...,vn). (4.1)
Vemos que, para qualquer F ∈ Z[x1,...,xn] tal que stabSn(F )=stabSn(F mod p):
R(F, f) modp = R(F mod p, f mod p), (4.2)
onde a última resolvente é calculada sobre Zp. Para calcular R(F, f) sobre Z, usando4.2,
podemos calcular R(F, f) modpi, paraprimosdistintospi tais que Π pi > 2C, ondeC é
umacotasuperiorparaomódulodoscoeficientes de R(F, f). R(F, f) é então reconstruída
sobre Z usando o Algoritmo do Resto Chinês (cf. Knuth [7, pp. 268-276]).
Calculamos C pela cotação dos módulos dos zeros de f(x), o que nos permite calcular
umacotaparaomódulodoszerosdeR(F, f). SeB é uma cota superior para o módulo
dos zeros de R(F, f) e d = ∂(R(F, f)), então
µ
d
C =max{ B
i
i :1≤ i ≤ d}
é uma cota superior para o módulo dos coeficientes de R(F, f).
4.2 Uma cotação para os zeros de f(x)
Precisamos calcular uma cota A tal que A ≥ |vi|,paratodovi zero de f(x). Zassenhaus
em [15] sugere
A =max{
¯ ai
( d
¯
i) ¯
1
i
(2 1
n − 1)
:1≤ i ≤ n}.
Sugerimos o método seguinte para calcular uma cota conveniente. Sejam
g(x) =x n −
nX
|ai| x n−i
e R>0 uma cota estritamente superior para o módulo dos zeros reais de g(x) (pela Regra
dosSinaisdeDescartes,g(x) tem pelo menos um zero real positivo, daí podemos tomar
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i=1