Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

os elementos a0,a1,a2,... são denominados coeficientes de f. Quando n =0e a0 6= 0,
então f(x) =a0 é chamado de polinômio constante sobre A. Quando n =0e a0 =0, então
f(x) é chamado de polinômio identicamente nulo sobre A e denotado por 0(x). Assim,
f(x) =0(x) se, e somente se, ai =0, ∀i ∈ Z+. Se
f(x) =
nX
aix i ∈ A[x],
então o grau de f(x), denotado por ∂f(x), édefinido como sendo
i=0
∂f(x) =max{r ∈ Z+; ar 6= 0e ar+k =0, ∀k ∈ N}.
Observemos que ∂0(x) não está definido. Se
f(x) =
nX
aix i ∈ A[x],
i=0
com ∂f(x) =n, dizemos que an éocoeficiente líder de f(x). No caso específico em que
an =1, f(x) éditomônico.
Proposição 1.14 1. Se A éumdomínioef(x),g(x) ∈ A[x], taisquef(x)+g(x) 6= 0,
então
∂(f(x)+g(x)) = max{∂f(x),∂g(x)} e ∂(f(x)g(x)) = ∂(f(x)) + ∂(g(x)).
Neste caso, A[x] é um domínio.
2. Se A é um corpo, então os únicos polinômios invertíveis sobre A[x] são os polinômios
constantes. Assim, A[x] nunca é um corpo. ¥
Se A[x1] é um domínio, definimos A[x1,x2] como sendo (A[x1])[x2], ou seja, o conjunto
dos polinômios em uma indeterminada x2 com coeficientes em A[x1]. Temos, pela comuta-
tividade de A, queA[x1,x2] =(A[x1])[x2] =(A[x2])[x1]. Fazendo identificações análogas
àquelasfeitasparaA[x], temos que todo polinômio
pode ser escrito na notação formal
f(x1,x2) =(g0(x1),g1(x1),...,gn(x1), ¤) ∈ A[x1,x2]
f = f(x1,x2) =
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nX
nX
aijx
i=0 j=0
i 1x j
2