Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

os elementos de K. Desde que V gera N sobre K, então τ é a identidade de G(N/K). O
grupo de Galois de f(x) sobre K, com respeito à ordenação V dos zeros de f(x), édefinido
como sendo Im(rep(G(N/K),V, ∗)). Se não for fixada uma ordenação dos zeros de f(x),
então Gal(f/K) pode ser determinado, quando muito, por conjugação interna em Sn. Isto
émaisfortedoqueisomorfismo interno e nesta dissertação, geralmente não estaremos
interessados no problema da ordenação dos zeros de f(x). Se não a especificarmos e
estabelecermos que Gal(f/K)=G, queremos dizer que para alguma ordenação dos zeros
de f(x),Gal(f/K)=G com respeito àquela ordenação. Sejam G grupo, H ≤ G e C = G
H .
Temos que a função
∗ : G × C −→ C
(g, xH) 7−→ gxH
é uma ação de G sobre C. Assim, temos em correspondência a representação
onde
T : G −→ P(C)
g 7−→ Tg
Tg : C −→ C
xH 7−→ g ∗ (xH)
Note que se HEG,entãoKer(T )=H. OsubgrupoT (G) será denotado por Im(rep(G, P(C))).
Sejam K corpo e f(x) ∈ K[x]. Dizemos que f(x) é solúvel por radicais sobre K se existe
umacadeiadecorpos
K = B0 ⊆ B1 ⊆ ···⊆ Bt−1 ⊆ Bt
onde cada Bi+1/Bi é uma extensão pura e Bt contém o corpo de decomposição de f(x)
sobre K. A extensão Bt/K é chamada de extensão radical.
Teorema 1.19 (Galois) Sejam K corpo, com Char(K) =0e f(x) ∈ K[x]. Tem-se que
f(x) é solúvel por radicais sobre K se, e somente se, Gal(f/K) ésolúvel. ¥
Seja F = F (x1,...,xn) ∈ K[x1,...,xn] esejaσ ∈ Sn. Definimos o polinômio conju-
gado de F com respeito à σ, denotado por σ ∗ F como sendo
σ ∗ F = F (xσ(1),...,xσ(n)).
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,
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