Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

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é um polinômio mônico em Z[x]. Se v1,v2,...,vn são os zeros de f(x),então cv1,cv2,...,cvn são os zeros de g(x) e, com respeito a estas ordenações, Gal(g/Q) ∼ = Gal(f/Q). Seja X = {x1,x2,...,xn}. Um r-conjunto de X, com1 ≤ r ≤ n, é qualquer subconjunto de X com r elementos e será denotado por {y1,y2,...,yr}. Já uma r-seqüência de X, com 1 ≤ r ≤ n, é qualquer r-upla formada por elementos de X e será denotada por (y1,y2,...,yr) . Vale salientar que dois r-conjuntos de X diferem entre sí pela natureza de seus elementos, enquanto que duas r-seqüências de X diferem entre sí pela ordem de seus elementos. Por exemplo, se X = {1, 2, 3}, então os possíveis 2-conjuntos e 2 -seqüências de X são, respectivamente e {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1)(2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3). Para referências futuras, enunciaremos o Teorema 1.20 (Chinês dos Restos) Sejam n1,n2,...,nr ∈ N, com ni ≥ 2, relativa- mente primos dois a dois, α1,α2,...,αr ∈ N e z1,z2,...,zr inteiros quaisquer. Então o sistema de congruências z ≡ zi(mod n αi i ), 1 ≤ i ≤ r admite solução em Z, que é única módulo n = r Π . ¥ 28 i=1 nαi i
Capítulo 2 Métodos de determinação do grupo de Galois Neste capítulo, discutiremos algoritmos para determinar propriedades do grupo de Galois de um polinômio. O objetivo é determinar com eficiência a informação necessária para especificar representantes das classes de conjugação do grupo de Galois. Incluiremos neste capítulo trabalhos feitos previamente e nossa discussão centrar-se-á no polinômio resolvente. 2.1 Determinação do grupo de Galois em um número finito de etapas Seja f(x) ∈ K[x],n = ∂f > 0. Além disso, suponha que f(x) tem zeros distintos v1,...,vn, no corpo de decomposição de f(x) sobre K. Se existe um algoritmo para fa- torar polinômios em duas ou mais variáveis sobre K, então podemos determinar Gal(f/K) em um número finito de etapas usando um método detalhado por van der Warden [14]. Notemos que tal algoritmo de fatoração existe quando existe um algoritmo para a fa- toração de polinômios em uma variável sobre K. Para encontrar Gal(f/K) por este algoritmo, procede-se da seguinte maneira: Forme a expressão t = x1v1 + x2v2 + ···+ xnvn 29
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