Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

(6.2) Tome d como sendo um inteiro positivo tal que para todo b = a c ,paraalgum
a ∈ K,
i. a d é único em K, para todas as soluções a ∈ K de b = a c e
ii. podemos calcular eficientemente este a d .
iii. Podemos sempre tomar d = c. Entretanto, é mais eficiente escolher d tanto
menor quanto possível. Por exemplo, quando K = Q: sec é ímpar, então
tome d =1e a d éaúnicac-ésima raiz em Q de b; sec épar,entãotome
d =2e a d é a única (c/2)-ésima raiz em Q de b;
(6.3) Faça m ← d(∂u∂g − ∂s)/(c +1), m = ∂(LR(M,f) d )+1;
(6.4) Para m distintos yi ∈ K, i =1,...,m,taisques(yi) 6= 0,façazi ← res(u(x),g(yi−
x))/s(yi). Aqui é onde precisamos assumir que |K| é“grandeosuficiente”
zi = SZ(u, g)(yi)/s(yi) =(LR(M, f)(yi)) c ;
(6.5) Para cada zi, sabemosquezi = a c i,paraalgumai ∈ K. ai = LR(M,f)(yi).
Para i =1,...,m,façazi = a d i . Podemos fazer isto devido à escolha de d como
explanado no passo (6.2);
(7) Tome t(x) como sendo o polinômio de grau m−1 tal que t(yi) =zi,parai =1,...,m,
usando um algoritmo de interpolação;
(8) Retorne PR(d, t) eFim.
3.10 Observações
Àmedidaquer cresce, a eficiência do algoritmo LINRESOLV decresce notadamente.
Entretanto, na prática, r é geralmente pequeno; freqüentemente r ≤ 3. Para um corpo
K dado, obsrevações empíricas podem ser feitas a fim de determinar o tamanho prático
para r e n.
Quando o algoritmo LINRESOLV é usado para calcular uma certa resolvente linear, o
mesmo deve, geralmente, calcular outras resolventes acessórias, recursivamente. Se estas
são úteis, deveriam ser salvas. Por exemplo, para calcular LR([1 3 ],f), LINRESOLVtem
que calcular também LR([1 2 ],f) e LR([1, 2],f).
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