Calculando Grupos de Galois sobre os Racionais - Universidade ...

O problema principal, que é dependente do corpo base na implementação do LINRE-
SOLV, é a escolha de d no passo (6.2). Usando a notação do passo (6) do Algoritmo
LINRESOLV, afirmamos que d = MDC(c, p − 1) é apropriado. Note que
d = MDC(c, p − 1) = sc + t(p − 1),
para algum s, t ∈ Z. Seja b = a c ,paraalguma ∈ Zp. Então, b s = a cs = a d pois, pelo
Pequeno Teorema de Fermat,
y p−1 =1, ∀y ∈ Zp,y 6= 0.
Agora precisamos mostrar que y d = z d , ∀y, z ∈ Zp, taisqueb = y c = z c .Temos
y c = z c ⇒ y cs = z cs ⇒ y d = z d .
Quando usamos o Algoritmo LINRESOLV sobre Zpi a fim de calcularmos LR(M, f) sobre
Z, escolhemos primos pi tais que j - (pi − 1), paraj =3,...,n. Neste caso, d nunca é
maior que 2 no passo (6.2).
4.5 Exemplos
Exemplo 5.1. Seja f(x) =x 7 − 14x 5 +56x 3 − 56x +22(discutido no Exemplo 3.5).
Calculamos e fatoramos L(x) =LR([1 3 ],f), degrau35, paraprovarqueGal(f/Q) éo
grupo 7T 3, o grupo de Frobenius de ordem 21.
Uma cota superior para o módulo dos zeros de f(x) é 5,daí15 é uma cota superior para
omódulodoszerosdeL(x). Umacotasuperiorparaomódulodoscoeficientes de L(x) é
1
21042 .L(x) modpifoicalculada para seis primos pi > 107 .L(x) foi então construída sobre
Z usando o Algoritmo do Resto Chinês. Fatorando L(x) em fatores irredutíveis sobre Q,
encontramos L(x) =L1(x)L2(x)L3(x), onde
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