Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

Numerische Beschreibung der Bewegung
3 Numerische Beschreibung der Bewegung
Um im folgenden eine numerische Beschreibung der Bewegungsgleichungen aus Abschnitt
2 machen zu können, ist es zunächst nötig, die einzelnen Verfahren zu beschreiben,
die es ermöglichen Differentialgleichungssysteme numerisch zu lösen (vgl.
[26, 29]). Dieses soll im folgenden Abschnitt geschehen. Die einzelnen Verfahren
werden vorgestellt und gegeneinander abgewogen. Zusammenfassend wird beschrieben,
welche Verfahren bei der Visualisierung (in Abschnitt 4) Anwendung gefunden
haben.
3.1 Allgemeine Bewegungsgleichung
Zunächst wird Gleichung (2.1) mit F ⃗ = qE ⃗ in einem kartesischen Koordinatensystem
für die einzelnen Komponenten betrachtet, dann lässt sich schreiben
⎛ ⎞ ⎛ ⎛
˙v x
˙⃗v = ⎝ ˙v y
⎠ = q ⎝ ⎝
m
˙v z
⎞
E x
E y
⎠ + q m
E z
⎞
v y B z − v z B y
v z B x − v x B z
⎠ . (3.1)
v x B y − v y B x
So ergibt sich ein Gleichungssystem aus gewöhnlichen Differentialgleichungen (engl.
ordinary differential equations (ODE’s)) welches zur Beschreibung der Bewegung
gelöst werden muss. In Abschnitt 2 wurden die Bewegungen so weit wie möglich
analytisch beschrieben und versucht eine analytische Lösung zu finden. Im folgenden
werden die Verfahren vorgestellt, die zur numerischen Lösung solcher ODE’s
verwendet werden können. Hierbei bietet sich die aufgezeigte Schreibweise in Gleichung
(3.1) auch für die weitere Verarbeitung mit MATLAB r○ an 5 .
Die im folgenden vorgestellten Lösungsverfahren beziehen sich auf eine ODE der
Form y ′ = f(x, y), wie oben gesehen handelt es sich bei der Bewegungsgleichung
aber um n teilweise gekoppelte Differentialgleichungen. Da sich aber jedes System
von Differentialgleichungen auch höherer Ordnung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung
erster Ordnung zurückführen lässt sind diese Betrachtungen legitim. Für
ein System von gekoppelten Differentialgleichungen
y ′ 1 = f 1 (x, y 1 , . . ., y n )
.
y ′ n = f 1 (x, y 1 , . . ., y n )
sind n Funktionen y 1 (x), . . . , y n (x), so zu bestimmen, das die Anfangsbedingungen
y 1 (x 0 ) = y 0,1 , . . ., y n (x 0 ) = y 0,n erfüllt sind. Setzt man y = (y 1 , y 2 , . . ., y n ) T und
f = (f 1 (x,y), . . ., f n (x,y)) dann kann man dieses System umschreiben und erhält
y ′ = f(x,y) mit y (x 0 ) = y 0 . (3.2)
Man kann somit in weitreichender Analogie ein System der Dimension n = 1 betrachten
und alle gemachten Überlegungen auf ein System mit n > 1 übertragen.
5 MATLAB r○ arbeitet intern mit Matrizen; Skalare werden dabei mit Matrizen der Dimension
1 × 1, Vektoren als Matrizen mit der Dimension 1 × n bzw. m × 1 dargestellt
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