Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

B.4 Simpson (Trapez-)Integration Ausgewählte Gleichungen
Mittel einer Gyration auf das Teilchen wirkende Lorentzkraft, diese ist gegeben
durch (nach Abb. 2.7)
¯F y = −qv x B z (y) ,
(B.5)
wobei B z (y) jeweils das Magnetfeld am Ort des Teilchens ist, für eine weitere Beschreibung
ist es sinnvoll, dieses mit Hilfe der Taylorentwicklung um einen Punkt
x 0 , y 0 = 0 (Ort des Führungszetrums für eine Kreisbahn) zu entwickeln. Es ergibt
sich für das Magnetfeld in z-Richtung (für den in Abb. 2.7 dargestellten Fall)
B z = B 0 + y (∂B z /∂y) .
(B.6)
Mit dieser Entwicklung lässt sich im Mittel für die Lorentzkraft angeben;
[
¯F y = −qv ⊥ (cosω B t) B 0 ± r L (cos ω B t) ∂B ]
. (B.7)
∂y
Mit der Annäherung, r L /L ≪ 1 wird der erste Term im mittel einer Gyration Null,
desweitern wird cos 2 ω B t zu 1/2, somit lässt sich schreiben
1 ∂B
¯F y = ±qv ⊥ r L
2 ∂y .
(B.8)
verwendet man diese Beziehung in (2.15), so ergibt sich für die Driftgeschwindigkeit
⃗v GD = ± mv2 ⊥
2qB 3 ⃗ ∇B × ⃗ B .
(B.9)
B.4 Simpson (Trapez-)Integration
Die Simpson Integration ist ein Verfahren zur numerischen Berechnung von bestimmten
Integralen
I =
∫ b
a
f(x) dx.
(B.10)
Grundlage der numerischen Intergration einer Funktion ist die Idee, die Funktion
durch ein Polynom zu nähern und dieses dann zu integrieren. Man wählt somit einen
Satz von k + 1 Stützstellen x i = 0, . . . , k, wertet die Funktion dort aus und legt
ein Polynom k-ten Gerades durch die Funktionswerte f i = f (x i ). Im allgemeinen
Fall verwendet man eine Lagrange-Interpolationsformel. Dazu bildet man hilfsweise
Polynome
l i (x) = ∏ x − x j
⇒ l i (x j ) = δ ij (B.11)
x i − x j
und es lässt sich schreiben
j(≠i)
f(x) ≈ p n (x) = ∑ i
l i (x)f i .
(B.12)
Dann kann man das Intgral durch
∫ b
a
f(x) dx ≈ ∑ i
∫ b
ω i f i mit ω i = l i (x) dx
a
(B.13)
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