Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.5 Geschwindigkeitskriterium Numerische Beschreibung der Bewegung
Die Interpolation, die diese Methode verwendet ist ein Zweipunkt Hermite Polynon
des Grades drei, welches die Werte y n und y n+1 interpoliert.
3.4.1.3 ode45 Methode
Die ode45 Methode arbeitet nach dem von J.R. Dormand und P.J. Prince [8] vorgestellten
Runge-Kutta Paar vierter und fünfter Ordnung. Auch hier wird wie bei der
ode23 Methode ein weiterer Schritt zur Fehlerbestimmung herangezogen. Das heute
in MATLAB r○ implementierte Dormand-Prince-Paar stellt momentan einen der
schnellsten ”
ODE-Solver“ dar, die mit einer mittleren Genauigkeit arbeiten. Auch
wenn es mit dem ode45 Algorithmus mittlerweile möglich ist, große Schrittweiten zu
berechnen, so eignet er sich besonders für nicht ”
glatte“ Differentialgleichungen. Die
Methode verwendet die Interpolation um innerhalb eines Schrittes vier Stützstellen
im gleichen Abstand zu berechnen auf denen dann der eigentliche Wert y n+1 basiert.
3.4.1.4 ode15s Methode
Die ode15s Methode basiert auf Verfahren, die auf die vorherigen Ableitungen
zurückgehen, dabei wird die Taylor-Entwicklung der Funktion verwendet und mittels
des Differenzenquotienten aus vorherigen Punkten die ODE gelöst.
3.4.1.5 ode113 Methode
Die ode113 Methode geht auf das Adams-Bashforth-Moulton Verfahren zurück, dabei
ist die Schrittweite sowie die Ordnung variabel. Die Ordnung kann zwischen 1
und 13 variieren. Hierbei werden die Integrationen sehr genau über die Fehlertoleranz
beobachtet, dieses geschieht graphisch in MATLAB r○ , daher sind diese Methoden
sehr aufwendig und kosten einen erheblichen Rechenaufwand.
3.5 Geschwindigkeitskriterium (Laufzeitanalyse)
Für die Visualisierung der in Abschnitt 2 betrachteten Bewegungen mit den numerischen
Mittel aus Abschnitt 3 stellt sich nun die Frage, ob die in MATLAB r○ integrierten
Hilfsmittel verwendet werden sollen oder MEX-Funktionen 14 aus bekannten
C/C++/FORTRAN-Code für die einzelnen Verfahren, wie sie in [29] aufgeführt
werden, erzeugt werden soll.
Während die mögliche Genauigkeit und Komplexität numerischer Verfahren mittlerweile
angestiegen sind, birgt der Einsatz der Standardsoftwarepakete wie sie in
MATLAB r○ integriert sind einige Tücken. Je allgemeiner die ”
ODE-Solver“ gehalten
sind, desto ungenauer können sie unter Umständen werden. Man darf dabei nie aus
den Augen verlieren, dass das vom Computer gelöste Problem
• weder mit dem ursprünglichen Problem übereinstimmt
• noch exakt gelöst wurde.
14 Erläuterungen siehe Anhang A.3
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