Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.2 Lösungsverfahren für DGL-Systeme Numerische Beschreibung der Bewegung
Auch hier ist die interne Arbeitsweise von MATLAB r○ hilfreich, da es die betrachteten
Differentialgleichungen nach Gleichung (3.2) intern in Vektorform behandeln
kann.
3.2 Lösungsverfahren für DGL-Systeme
Um eine ODE numerisch zu lösen, wird das Verhalten eines physikalischen Systems,
welches durch Differentialgleichungen in der lokalen zeitlichen und räumlichen
Umgebung gegeben ist, angenähert. Durch Näherung – insbesondere einer Linearisierung
– der Gesetzmäßigkeiten in der lokalen Umgebung, kann man auf einfache
Weise näherungsweise den Zustand des Systems an einem um eine kleine Strecke ∆x
oder einem kleinen Zeitintervall ∆t entfernten Ort bzw. Zeitpunkt bestimmen. Von
dort aus ist es wiederum durch Näherung möglich den nächsten Ort oder Zeitpunkt
zu erreichen. Somit lässt sich durch wiederholte Anwendung des Verfahrens die gesamte
Strecke bzw. der gesamte Zeitraum annähernd berechnen. Alle numerischen
Verfahren beruhen auf diesem Prinzip. Sie unterscheiden sich zumeist nur in der
Schrittweite, der Anzahl der angenäherten Teilstücke oder der Länge dieser.
Ein physikalisches System, welches durch ODE’s beschrieben werden kann, kann nur
vollständig beschrieben werden, wenn auch die Bedingungen des Systems mit aufgenommen
werden. Je nach Art der Bedingung unterscheidet man nach Anfangswertund
Randwertbedingungen. Bei den Anfangswertproblemem, sind zu einem Startwert
x 0 die y i ’s bekannt und man sucht die Lösung der y i ’s für ein bestimmtes x 0 . Im
Fall der geladenen Teilchen in elektromagnetischen Feldern, sind die Anfangswerte
durch den Ort ⃗x 0 und die Geschwindigkeit ⃗v 0 gegeben. Bei den Randwertbedingungen
sind mehrere Grenzen an verschiedenen x i ’s angegeben. Die verwendeten
numerischen Lösungsansätze richten sich nach den Bedingungen.
3.3 Angewandte Lösungsverfahren
Jedes Verfahren zur numerischen Lösung von ODE’s stützt sich auf das oben beschriebene
Grundprinzip. Als Grundlage aller weiteren beschriebenen Verfahren soll
das Euler Verfahren dargestellt werden, da dieses einige grundlegende Aspekte der
weiteren Behandlungen beinhaltet. Dann werden drei weitere Lösungsverfahren vorgestellt.
Hierzu zählen das Runge-Kutta Verfahren, das Burlisch-Stoer Verfahren
und als eine Prädiktor-Korrektur Methode das Adams-Bashforth-Moulton Verfahren.
Diese Verfahren/Methoden zur Lösung von ODE’s sind gezielt ausgesucht worden,
weil in den heutigen numerischen Softwarepaketen, so auch in MATLAB r○ ,
diese ihre Anwendung finden. Mit der heutigen leistungsstarken Computertechnik
ist es möglich immer kleinere Schritte bei der Diskretisierung zu machen und somit
immer mehr an ein kontinuierliches Spektrum heranzukommen. Allerdings werden
alle numerischen Verfahren zur Beschreibung von ODE’s immer eine Diskretisierung
bleiben.
Im folgenden sollen die Lösungsverfahren für ODE’s der Form
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y ′ = f(x, y) (3.3)