Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.3 Angewandte Lösungsverfahren Numerische Beschreibung der Bewegung
ab. Dabei muss das Differentialgleichungssystem nicht ausgewertet werden. Um nun
zu einer Korrektur des so erzeugten Wertes zu gelangen, berechnet man die Ableitung
des Prädiktionswertes. So erhält man mit den vorherigen Ableitungen und
einem Polygonzug bis zu x n + h eine weitere Aussage über den Prädiktionswert.
Nun berechnet man das Integral ∆x als Fläche unterhalb der Kurve zwischen x n
und x n + h mittels der Simpson Integration (siehe Anhang B.4; nur exemplarisch
für MATLAB r○ , für eine eigene Implementation lassen sich alle weiteren diskreten
Integrationsverfahren nutzen). Mittels dieser Fläche lässt sich der korrigierte Wert
der Kurve berechnen y n+1 = y (x n + h) = y (x n ) + ∆x. Somit wird auch deutlich,
warum dieses Lösungsverfahren zunächst berechnete Punkte braucht um eine genaue
Aussage über den weiteren Verlauf zu machen, in dem gezeigten Beispiel (vgl.
Abb. 3.6) werden zunächst drei bekannte Punkte vorausgesetzt.
3.3.4.3 Adams-Bashforth-Moulton Verfahren
Dieses Verfahren ist eines der häufigst eingesetzten Mehrschrittverfahren, es ba-
(a) Vierte Ordnung des Adams-Bashforth
Prädiktionswertes (mit Extrapolation)
(b) Vierte Ordnung des Adams-Moulton Korrekturwertes
(mit Interpolation)
Abbildung 3.7: Adams-Bashforth-Moulton Integration
siert auf der oben beschriebenen Prädiktor-Korrektur Methode. Somit kann man
sehr viel Rechenaufwand sparen. Jedoch können diese Verfahren nur wie auch das
Burlisch-Stoer Verfahren bei ”
glatten“ Differentialgleichungen eingesetzt werden. An
dieser Stelle soll kurz das Adams-Bashforth-Moulton Verfahren vorgestellt werden,
da MATLAB r○ es bei einigen Lösungsverfahren verwendet. Das Verfahren basiert auf
der in Gleichung (3.16) dargestellten allgemeinen Form. Hierbei wird das Lagrange
Polynom 13 für die Approximation von f(x ′ , y) mit den Punkten
(x n−3 , y n−3 ), (x n−2 , y n−2 ) , (x n−1 , y n−1 )
und (x n , y n ) verwendet. Man integriert über das Intervall [x n , x n+1 ]. So erhält man
den Adams-Bashforth Prädiktionswert
y P = y n + h 24 (−9f n−3 + 37f n−2 − 59f n−1 + 55f n ) . (3.18)
In gleicher Weise ergibt sich der Korrekturwert. Nun kann man, wie oben beschrieben
den Prädiktionswert für y n+1 verwenden und wiederum ein Langrange Polynom
13 siehe O. Forster [9] Kapitel I
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