Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.3 Angewandte Lösungsverfahren Numerische Beschreibung der Bewegung
Abbildung 3.2: Exemplarische Darstellung des Runge-Kutta Verfahrens vierter Ordnung
mit der Differentialgleichung y ′ (x) = y(x) + x − 1
einen ganzen Euler Schritt aus und erhält einen neuen y Wert y 3 = y (x 0 ) + m 3 h,
durch erneutes einsetzen ergibt sich der Punkt P 3 (x 0 + h, y 3 ) (vgl. Abb. 3.2 untenlinks).
Durch einsetzen in die Differentialgleichung ergibt sich die letzte Steigung
m 4 = f (x 0 + h, y 3 ) (vgl. Abb. 3.2 unten-mitte). Aus den so berechneten vier Steigungen
wird nun nach Runge-Kutta ein gewichtetes arithmetisches Mittel gebildet
und man erhält als Gesamtsteigung für die Linearisierung
m ges = 1 6 (m 1 + 2m 2 + 2m 3 + m 4 )
= 1 6 (y′ (x 0 ) + 2f (x 0 + 1/2h, y 1 ) + 2f (x 0 + 1/2h, y 2 ) + f (x 0 + h, y 3 )) .
Mit dieser Gesamtsteigung lässt sich nun in Analogie zum Euler Verfahren das Stück
des Graphen approximieren (vgl. Abb. 3.2 unten-rechts). Man erhält somit nach dem
Runge-Kutta Verfahren vierter Ordnung die Geradengleichung
y (x 0 + h) = y (x 0 ) + hm ges (3.11)
mit dem zugehörigen Punkt B (x 0 + h, y (x 0 + h)), dieser wird als der gesuchte
nächste Kurvenpunkt angenommen und dient als Startpunkt für den nächsten Iterationsschritt.
Wie schon in den obigen Erläuterungen beschrieben, liegt der Fehler des Runge-
Kutta Verfahrens bei einer Größenordnung von O (h 5 ). Man muss nun bei dem
Runge-Kutta Verfahren die Diskretisierungsfehler (Verfahrensfehler) und die numerischen
Fehler (Rundungsfehler) betrachten, da sich beide in unterschiedlicher Weise
auf den Gesamtfehler auswirken. Beide Fehlerarten entwickeln sich in Abhängigkeit
von der Schrittweite h gegensätzlich; wird die Schrittweite verringert, so verkleinert
sich zwar der Diskretisierungsfehler aufgrund von höherem Rechenaufwand wird sich
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