Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.5 Geschwindigkeitskriterium Numerische Beschreibung der Bewegung
Dabei stellt sich allerdings bei allen numerischen Verfahren nicht die Frage nach dem
Übereinstimmen, da die Numerik immer nur innerhalb einer gewissen Grenze an das
Problem herankommen kann, sondern vielmehr nach dem Maße der Exaktheit. Für
spezialisierte Verfahren gilt, dass sie meistens ein hohes Maß an Genauigkeit liefern
und mit dem analytischen Ergebnis, soweit vorhanden im Rahmen der Toleranz
übereinstimmen, dieses ist bei vielen Algorithmen aus [29, 31] der Fall (siehe auch
Anhang C). Jedoch haben diese Verfahren den Nachteil, dass sie wenn sie in MAT-
LAB r○ verwendet werden sollen sehr langsam laufen. Dieses beruht zum einen auf
der Struktur der MEX-Funktion und deren Speicherverwaltung, zum anderen auf den
unterschiedlichen Datenstrukturen.
Die allgemeinen Lösungsverfahren sind gerade im Bezug auf die Verwendung in
MATLAB r○ optimiert und bieten daher einen Geschwindigkeitsvorteil. Da die Visualisierung
der Bewegungen der geladenen Teilchen nicht die Exaktheit der Bewegung
darstellt und auch nicht diesen Anspruch erhebt, sind für diese Arbeit die allgemeinen
Lösungsverfahren von MATLAB r○ verwendet worden. Mit diesen ist es möglich
die Bewegung in einer flüssigen Simulation zu visualisieren und dieses trägt mehr
zum Verständnis der Physik hinter diesen Vorgängen bei, als eine exakte Lösung. Des
weiteren ist eine exakte Lösung der Bewegungen auch gar nicht nötig und im Rahmen
der Physik auch nicht unbedingt sinnvoll. Die Bewegungen wie sie in Abschnitt 2
beschrieben sind, sind zumeist bei den geladenen Teilchen im Erdmagnetfeld zu
finden. Hier eine exakte Lösung der Bewegungsgleichung bis auf etliche Nachkommastellen
anzusetzen ist physikalisch nicht sinnvoll. Alleine kleine Diskrepanzen im
Feld, die von der Theorie abweichen, führen wie auch die Numerik selbst zu kleinen
Abweichungen. Somit lässt sich die ”
reale“-Situation der geladenen Teilchen im Erdmagnetfeld
wahrscheinlich am besten mit der Numerik und der in ihr beinhalteten
kleinen Abweichungen darstellen.
Um einen Überblick über die verschiedenen Stärken und Schwächen der vorgestellten
Algorithmen zu erlangen, sollen im folgenden die Laufzeiten der einzelnen ”
ODE-
Solver“ von MATLAB r○ mit den C-Programmen (vgl. [29], Auszüge siehe Anhang C)
bzw. mit den von ”
Hand“ implementierten Algorithmen verglichen werden. Hierbei
werden die Berechnungen jeweils über eine Zeitspanne von 0 bis nLarmor · 2πω B
durchgeführt. Dabei wählt man, um zeitlich eine Aussage treffen zu können,nLarmor
je nach Rechnergeschwindigkeit so hoch, dass man vergleichbare Laufzeiten erhält.
Bei einer Zeitspanne die sehr klein ist, machen sich die Unterschiede kaum bemerkbar.
Die in Tabelle 3.1 dargestellten Laufzeiten der einzelnen Solver sind mit einem
AMD XP2000+, mit 1GB 400 MHz DDR-RAM in MATLAB r○ Version 6.5 (Release
13) berechnet worden. Dazu kann man in MATLAB r○ die Kommandos tic und toc
verwenden. Der Aufruf des auszuführenden Programms wird zwischen die Befehle gestellt
und man erhält eine Laufzeit des Programms. Der Compiler zur Erzeugung der
MEX-Funktion ist dabei auf dengcc-Compiler von Cygwin 15 gesetzt worden. Des weiteren
wurden die Ergebnisse der Berechnungen mit denen der Theorie in Abschnitt 2
gegenübergestellt um einen Vergleich der Genauigkeiten zu ermöglichen. Um einen
Vergleich so einfach wie möglich zu gestallten, wird die Gyration zunächst ohne
eine Geschwindigkeitskomponente in Richtung des Magnetfeldes betrachtet, dabei
15 Cygwin ist eine von RedHat entwickelte UNIX-Umgebung für Windows c○ . Grundbestandteil
ist eine Bibliothek von UNIX-Funktionen, die es ermöglichen für UNIX entwickelte Programme
unter Windows c○ auszuführen. (www.cygwin.com)
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