Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.3 Angewandte Lösungsverfahren Numerische Beschreibung der Bewegung
Mechanismus der Prädiktor-Methode klar zu machen, ist es zunächst notwendig,
zu verstehen, dass das integrieren einer ODE sich grundlegend von der Suche nach
einem Integranden unterscheidet. Bei einer Integration kennt man den Zusammenhang
zwischen dem Integranden und der Variablen x in analoger Form. Wenn man
nicht numerisch vorgehen würde, sondern analytisch, ließe sich die Linearisierung
und das Vorhersagen eines Punktes auf der Kurve analytisch schreiben als
y n+1 = y n +
x∫
n+1
x n
f(x ′ , y) dx ′ . (3.16)
Bei den bisher vorgestellten Verfahren wurde eben der Integrand durch die Linearisierung
ausgedrückt, diese Verfahren werden als Einschrittverfahren bezeichnet,
weil der Wert x n+1 und y n+1 nur auf dem vorherigen Wert y n beruht. Die Prädiktor
Methode versucht nun einen anderen Weg den Integranden auszudrücken und
verwendet dazu die bereits bekannten Werte um zunächst einen Prädiktionswert
y P zu berechnen und diesen mit Hilfe eines Korrekturwertes y C anzupassen. Dabei
unterscheidet man bei den Vorgehensweisen zwischen den Ein- und Mehrschrittverfahren,
dabei bezieht sich diese Einteilung auf die Anzahl der vorherigen Werte, die
zur Berechnung herangezogen wurden.
3.3.4.1 Einschrittverfahren
Die einfachste Prädiktor-Korrektur Methode ist das implizite Euler Verfahren. Hier-
(a) Prädiktionswert, Näherungslösung und Korrektur
(b) Korrekturberechnung
Abbildung 3.5: Implizites Euler Verfahren
bei wird der y n+1 Wert rückwärts berechnet siehe Gleichung (3.5). Dabei wird
zunächt ein Prädiktionswert y P mittels des expliziten Euler Verfahrens ermittelt. An
diesem Prädiktionspunkt wird die Ableitung, somit die Steigung m P = f ′ (x n+1 , y P )
für den Prädiktionspunkt berechnet. Ausgehend von dieser Steigung ergibt sich von
x n aus eine Gerade (vgl. Abb. 5(a) rote Linie) und man erhält eine Näherung für
y n+1 . Diese Näherung liegt allerdings innerhalb eines Fehlers ∆x von der exakten
Lösung entfernt. Um den Fehler zu verifizieren, berechnet man die Fläche, die oberhalb
der exakten Lösung liegt (vgl. Abb. 5(b)). Dazu verwendet man zumeist die
Trapezformel 11 . Mittels dieses Fehlers ist es möglich eine Korrektur des Näherungswertes
durchzuführen, daher wird dieser Schritt auch als Korrektorschritt bezeichnet.
11 siehe Anhang B.4 Gleichung (B.14)
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