Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.4 MATLAB ODE Suite Numerische Beschreibung der Bewegung
Die verwendeten Algorithmen gehen zwar auf die oben vorgestellten grundlegenden
Theorien zurück sind aber im Laufe der Zeit durch neue Erkenntnisse und durch
neue binäre Implementationen in MATLAB r○ optimiert worden. Daher bieten die
heutigen ”
ODE Solver“, wie sie in den Versionen 6.5 (Release 13) und 7.0 (Release
14) vorkommen, die schnellste und komfortabelste Möglichkeit ODE’s numerisch zu
lösen. Zur weiteren Optimierung beinhalten die Runge-Kutta Verfahren immer ein
Paar von Verfahren unterschiedlicher Ordnung (Analogie siehe Anhang C.3). Ein
weiterer Vorteil, den MATLAB r○ bei der Lösung von ODE’s zur Verfügung stellt,
ist, dass alle Lösungsverfahren mit ein und der selben Befehlstruktur aufgerufen
werden können, ohne dass man für jedes Verfahren eine spezifizierte benötigt.
3.4.1.1 Aufruf eines ODE Solvers
Die numerischen Lösungsverfahren sind in MATLAB r○ standardisiert worden, dieses
führt zu einer einfachen Handhabung und ermöglicht dem Benutzer ein hohes
Maß an Flexibilität, da mit nur kleinen Änderungen ein anderer ”
ODE Solver“
eingebunden werden kann. In diesem Abschnitt soll die MATLAB r○ Syntax zur Behandlung
von ODE Problemen beschrieben werden und die einzelnen Optionen, die
MATLAB r○ dazu bietet näher erläutert werden. Die Syntax zum Aufruf eines ”
ODE
Solvers“ sieht immer wie folgt aus
>> [x,y] = solvername(@fun,[xinitial xfinal], y0, {options})
Dieser Aufruf erfordert, dass das System von Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungen
höherer Ordnung, wie in Abschnitt 3.1 beschrieben, angesehen werden
können und vom Problem her der Form y ′ = f(x, y) sind. Beim Aufruf ist @fun
der Name der Funktion, die die Differentialgleichung bestimmt. Das Intervall über
welches die Funktion integriert werden soll, ist dabei durch [xinitial xfinal] gegeben,
in der Dokumentation von MATLAB r○ , die mit dem Aufruf doc solvername
aufgerufen wird, findet man an dieser Stelle einen Vektor tspan, dieser muss den
xinitial- und xfinal-Wert enthalten. MATLAB r○ geht dann von einer natürlichen
Schrittweite aus und berechnet hierzu im Intervall die Lösungen. Hat der Vektor
tspan mehr als zwei Elemente, so berechnet MATLAB r○ die Lösungen der Differentialgleichungen
explizit nur an diesen Punkten. Dann ist es dem Benutzer überlassen,
in welcher Weise er die Daten weiterverarbeitet und welche Interpolation er für
die Darstellung verwenden möchte. Der Wert y0 gibt die Anfangsbedingungen der
einzelnen Gleichungen vor, mittels der Anzahl der Elemente dieses Vektors, ist es
MATLAB r○ möglich die Anzahl der Differentialgleichungen zu bestimmen, die das
System beschreiben und die gelöst werden müssen.
Der Vektor options ist optional, er wird durch die Funktion odesets erzeugt. Hierbei
kann man der Funktion als String die beliebigen Optionen übergeben und den
gewünschten Zahlenwert. Hieraus werden die passenden Parameter für die einzelnen
ODE Solver“ automatisch zusammengestellt. Dieses ist eine weitere Optimierung
”
der Lösungsverfahren bzw. des Aufrufs, da man auf diese Weise nicht selbst eine
Auswahl aus den Parametern treffen muss mit denen die Lösungsverfahren arbeiten.
Hierbei ist die wichtigste Option die auch schon oben angesprochene Toleranz
des Fehlers, man kann die relative RelTol und die absolute Toleranz AbsTol setzen.
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