Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.3 Angewandte Lösungsverfahren Numerische Beschreibung der Bewegung
aber der numerische Fehler vergrößern. Wird dagegen die Schrittweite vergrößert,
so verringert sich aufgund der geringeren Anzahl der Rechenschritte der numerische
Fehler, wohingegen der Diskretisierungsfehler zunimmt. Diese Betrachtung ist für
die in Abschnitt 3.3.2.1 besprochene adaptive Schrittweitenbestimmung von Bedeutung.
Zumindest theoretisch gibt es jeweils für eine bestimmte Differentialgleichung
zusammen mit dem Näherungsverfahren eine bestimmte optimale Schrittweite (vgl.
Abb. 3.3). Diese macht man sich bei einer Schrittweitensteuerung zu nutze. Jedoch
reagiert dieses Verfahren wie in Abb. 3.3 dargestellt, sehr empfindlich auf eine
Veränderung der Schrittweite. Die optimale Schrittweite wird gemäß einer empirischen
Beziehung festgelegt
h · L ≈ 0.1 (3.12)
mit L der sogenannten Lipschitzkonstanten 8 , die eine obere Schranke der Ableitung
darstellt.
Nun stellt sich die Frage, warum die meisten numerischen
Softwarepakete eben nur die Runge-
Kutta Verfahren vierter Ordnung und nicht höhere
Ordnungen implementieren. Prinzipiell sind
Runge-Kutta Verfahren auch mit höheren Ordnungen
möglich. Dabei sind die Grenzen des realisierbaren
theoretisch nur durch die Rechenleistung
und die numerische Genauigkeit der Variablen
eingeschränkt. Im Allgemeinen wird aber
auf das Verfahren vierter Ordnung zurückgegriffen.
Dieses liegt darin begründet, dass zwar die Fehler geringer werden, die diese
Abbildung 3.3: Fehlerentwicklung
Verfahren machen, der Rechenaufwand dieser Verfahren aber nicht in Relation zu
ihrem Nutzen steht. Das folgende Zitat aus [29] stellt wohl am nachhaltigsten die
Stellung des Runge-Kutta Verfahrens dar.
For many scientific users, fourth-order Runge-Kutta is not just the
”
first word on ODE integrators, but the last word as well. In fact, you
can get pretty far on this old workhorse, especially if you combine it with
an adaptive stepsize algorithm. . . . Bulirsch-Stoer or predictor-corrector
methods can be very much more efficient for problems where very high
accuracy is a requirement. Those methods are the high-strung racehorses.
Runge-Kutta is for ploughing the fields.“
3.3.2.1 Adaptive Schrittweite
Im vorherigen Abschnitt wurde erläutert, wie man das Runge-Kutta Verfahren mathematisch
beschreiben kann und welche Fehler dabei auftreten. Dabei gibt es eine
optimale Schrittweite, bei der die Fehler minimal sind. Allerdings ist diese Annahme
nur unter der Bedingung richtig, dass die gesuchte Funktion stark veränderlich
ist. Kommt es in einem Bereich zu keinen großen Abweichungen, so kann man eine
sogennante adaptive Schrittweitensteuerung einführen. Diese Steuerung, bzw. diese
Methode verändert die Schrittweite in Abhängigkeit von der Veränderlichkeit der gesuchten
Funktion. Um eine solche Steuerung zu implementieren sind jedoch weitere
Rechenschritte nötig, dieses verlangsamt zwar das Verfahren auf stark veränderlichen
8 genaue mathematische Definition siehe O. Forster [9] Kapitel II, S. 102
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