Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.3 Angewandte Lösungsverfahren Numerische Beschreibung der Bewegung
3.3.4.2 Mehrschrittverfahren
Bei den Mehrschrittverfahren versucht man mittels mehrerer vorheriger Punkte und
der Ableitung eine Aussage über den nächsten Punkt zu erhalten. Bei diesen Mehrschrittverfahren
versucht man f(x, y) über ein Polynom durch mehrere vorherige
Punkte x n , x n−1 , x n−2 , . . . anzunähern. Somit wird das oben angeführte Integral zu
y n+1 = y n + h ( a 0 y ′ n+1 + a 1y ′ n + a 2y ′ n−1 + a 3y ′ n−2 + . . .) (3.17)
mit y ′ n = f (x n, y n ). Hierbei heißt die Methode explizit, wenn a 0 = 0 und implizit
wenn a 0 ≠ 0.
Abbildung 3.6: Prädiktor Methode (Quelle geändert: [6])
Die Ordnung einer Prädiktor Methode richtet sich nun nicht wie bei Runge-Kutta
nach den Schritten, die gemacht wurden um einen neuen Punkt zu berechnen sondern
nach der Anzahl der verwendeten bekannten Punkte. Nun ist es aber problematisch
eine implizite Form von Gleichung (3.17) zu finden, da man hierzu y n+1
benötigt. Um dieses Problem zu lösen, muss man eine Abschätzung für diesen Wert
festlegen, entweder geschieht dieses durch raten oder durch den Prädiktorschritt,
der als Grundlage zunächst die explizite Form verwendet um von dort auf den Wert
für y n+1 zu kommen. Dieses geschieht dann durch die Integration des Polynomzuges
durch eine Simpson Integration 12 von x n bis x n+1 . Mittels dieser Integration kann
man den Wert für y n+1 korrigieren.
Die Prädiktor Methode kann man wie in Abb. 3.6 verdeutlichen. Zunächst schätzt
man den Prädiktionswert y P (x n + h) durch Extrapolation (Polynomzug, Splinefittung,
etc.) aus vorherigen Werten y n−i und den Ableitungen
12 siehe Simpson Integration Anhang B.4
y (x n ) , y ′ (x n ) , y (x n − h) , y ′ (x n − h) , . . .
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