Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.3 Angewandte Lösungsverfahren Numerische Beschreibung der Bewegung
(a) unsymmetrische Euler-Approximation: die Linearisierung
wird am Anfangspunkt x n gemacht
(b) symmetrische Euler-
Approximation: die Linearisierung
wird zwischen zwei Wertepaaren x n , y n
und x n+1 , y n+1 angelegt
Abbildung 3.1: Verschiedene Euler-Approximationen
Der lokale Fehler e k+1 ergibt sich durch den in einem einzelnen Schritt begangenen
Fehler. Hierbei git
e k+1 = max [a,b] (|y (x k+1 ) − y k − hf ′ (x k , y k )|) mit k = 0, 1, . . ., M − 1. (3.7)
Somit ist es möglich den Fehler abzuschätzen, den man innerhalb eines Intervalls
[a, b] nach M Schritten gemacht hat, der Fehler liegt bei einer Größenordnung von
O (h 1 ) für den globalen Fehler, die Größenordnung des lokalen Fehlers liegt bei
O (h 2 ). Man erkennt, dass das Euler Verfahren somit für eine ”
genaue“ numerische
Beschreibung einer ODE nicht zu verwenden ist oder eine sehr kleine Schrittweite h
und damit entsprechend viele Rechenoperationen erfordert.
3.3.2 Runge-Kutta Verfahren
Das Euler Verfahren liefert somit im Allgemeinen nur grobe Näherungswerte. Im folgenden
soll daher ein verfeinertes Verfahren angegeben werden, das von Runge und
Kutta entwickelt worden ist. Gegeben sei wieder die durch Gleichung (3.3) beschriebene
Differentialgleichung und als Anfangswert y (x 0 ) = y 0 . Bei diesem Verfahren
teilt man ein gegebenes Intervall [a, b] wiederum in Abschnitte der Schrittweite h
auf. Wenn man nun das Euler Verfahren zu grunde legen würde, erhält man nach den
oben angestellten Betrachtungen schon nach kurzer Zeit starke Abweichungen der
Linearisierung von der zu approximierenden Kurve. Um hier eine genauere Aussage
treffen zu können wird der Endpunkt P (x 0 + h) der Geraden für einen Vergleich
und zur Entwicklung des Runge-Kutta Verfahrens herangezogen. Dieser Endpunkt
der Linearisierung wird im folgenden als Approximationspunkt bezeichnet.
Aufbauend auf dem in Abschnitt 3.3.1 beschriebenen Verfahren, kann man – so
Runge-Kutta – den gesuchten Prognosewert nur dadurch grundsätzlich verbessern,
indem man die für die lineare Fortschreibung
20
y n+1 = y n + hf ′ (x n , y n ) (3.8)