Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

3.3 Angewandte Lösungsverfahren Numerische Beschreibung der Bewegung
vorgestellt werden, diese sind wie in Abschnitt 3.1 beschrieben ohne weiteres auf
Systeme von Differentialgleichungen zu erweitern.
3.3.1 Euler Verfahren
Das Euler Verfahren wird auch Einschrittverfahren genannt, weil es versucht mittels
einzelner kleiner Schrittweiten h, eine genaue numerische Abbildung des über
Differentialgleichungen beschriebenen Systems zu geben. Bei dem Euler Verfahren
wird Gleichung (3.3) durch eine Diskretisierung ersetzt, man erhält
y n+1 = y n + hf ′ (x n , y n ) . (3.4)
Mit dieser Gleichung versucht man die Lösung für x n+1 = h+x n über x n anzunähern.
Dieses Verfahren versucht somit über das Intervall h eine Linearisierung des Systems
vorzunehmen. Dabei stellt Gleichung (3.4) die normale Geradengleichung dar. Hierbei
ist y n der y-Abschnitt, f ′ (x n , y n ) die Steigung der Geraden im Punkt x n und
h das Intervall. Das hier vorgestellte sogenannte explizite Verfahren geht von einer
Linearisierung vom Punkt y n zu y n+1 aus und wird daher auch ”
Euler vorwärts“
genannt. Die Bezeichnung explizit kommt daher, dass auf der rechten Seite der Gleichung
nur bekannte Größen auftreten und daher explizit y n+1 berechnet werden
kann. Mit teilweise erhöhtem Rechenaufwand ist es auch möglich ein implizites Euler
Verfahren durchzuführen. Man erhält es, wenn man bei der Approximation den
Funktionswert nicht am linken, sondern am rechten Rand des Intervalls bestimmt,
dann gilt
y n+1 = y n + hf ′ (x n+1 , y n+1 ) . (3.5)
Dieses Verfahren wird auch ”
Euler rückwärts“ genannt. Welche Berechnungen nötig
sind um dieses implizite Verfahren zu verwenden, wird in Abschnitt 3.3.4 näher
erläutert. An dieser Stelle sollen zunächst die expliziten Verfahren erläutert werden.
Man erkennt, dass das explizite Euler Verfahren unsymmetrisch ist, da es nur die
Bedingungen am Punkt x n ausnutzt und von dort eine Linearisierung angestrebt
wird. Dieses führt bei häufiger Wiederholung und bei genügend kleinem Intervall
zu einer polygonalen Approximation von y (schematische Darstellung siehe Abb.
1(a)). Die so erzeugte Näherung stimmt bis einschließlich des linearen Gliedes mit
der TAYLOR-Entwicklung von y = y(x) in der Umgebung von x = x n überein.
Allerdings verwendet man heute dieses Verfahren nur noch in den Grundzügen, da
sich der Fehler bei wiederholter Anwendung verstärkt und zu großen Abweichungen
führen kann.
Im folgenden sollen die beim Euler Verfahren entstehenden Fehler und die Genauigkeit
näher betrachtet werden, da diese auch für die im weiteren besprochenen
Verfahren maßgebend sind. Hierzu betrachtet man eine Menge ((x k , y k )) M k=0 von
Approximationen in einem Intervall [a, b] und nimmt an, dass y = y(x) die Lösung
der ODE ist. Dann ergibt sich nach J.H. Mathews [22] ein sogenannter globaler und
lokaler Diskretisierungsfehler. Der globale Fehler e k ist definiert als die Differenz
zwischen der analytischen Lösung und der approximativen Lösung
e k = max [a,b] (|y (x k ) − y k |) mit k = 1, 2, . . ., M. (3.6)
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