Teilchenbewegungen in el./magn. Feldern (Visualisierung)

C.4 Prädiktor-Korrektur Methode Programme
k 3 = hf
(x ′ n + h 3 , y n + 1 )
6 (k 1 + k 2 )
k 4 = hf
(x ′ n + h 2 , y n + 1 )
8 (k 1 + 3k 3 )
k 5 = hf
(x ′ n + h , y n + 1 )
2 (k 1 − 3k 3 + 4k 4 )
und erhält für y n+1 = y n + 1 (k 6 1 + 4k 4 + k 5 ). Diese Annäherung ist von der gleichen
Fehlergrößenordnung wie das Runge-Kutta Verfahren vierter Ordnung aber erlaubt
gleichzeitig eine Abschätzung über den gemachten lokalen Fehler, hierbei gilt
e = 1 (
k 1 − 9 15 2 k 3 + 4k 4 − 1 )
2 k 5 . (C.1)
Mit dieser Fehlervoraussage ist es möglich eine adaptive Schrittweitensteuerung zu
machen. Hierbei muss nur die Fehlerschranke festgelegt werden. Arbeitet man mit
einer festen Fehlerschranke, die in den Numerikprogrammen durch die Toleranz vorgegeben
wird, dann arbeiten die Programme in den meisten Fällen mit der ”
step
doubling“-Methode.
C.4 Prädiktor-Korrektur Methode
Die in Abschnitt 3.3.4 vorgestellte Methode um mittels eines Prädiktionswertes
und anschliessender Korrektur den nächsten Zustand verherzusagen, lässt sich in
MATLAB r○ durch die folgenden Funktionen implementieren. Hierbei hat man mehrer
Prädiktor- und Korrektorfunktionen zur Auswahl. Je nach Problem müssen diese
angepasst werden, an dieser Stelle seien nur kurz das Euler-Verfahren, das Crank-
Nicolson Verfahren und die Simpson Integration (als weitere Möglichkeit der Korrektur)
vorgestellt.
C.4.1 MATLAB: Prädiktor-Korrektur
Eine allgemeine Form der Prädiktor-Korrektur Methode lässt sich wie folgt in MAT-
LAB implementieren (siehe CD predcor.m).
function [xout,yout] = predcorr(odefun,xspan,y0,M,pred,corr,varagin)
% PREDCORR loest eine gegebene ODE mittels der Praediktor-Korrektur
% Methode, wobei x=[x0 xend] das Intervall ist, ueber der
% die ODE geloest werden soll. y0 ist dabei der Startwert,
% M ist die Anzahl der aequidistanten Schrittweiten zur
% Berechnung. Die Funktion ODEFUN(X,Y) liefert dabei nach
% y’=f(x,y) die Werte fuer f(x,y). Pred und corr sind die
% verwendeten Praediktor und Korrektor Methoden, diesen werden
% die zusaetzlichen Parameter P1, P2,... uebergeben.
H=(xspan(2)-yspan(1))/M; xx=[tspan(1):H:tspan(2)];
u=y0; [n,m]=size(u); if n~=m, u=u’; end
for x = xx(1:end-1)
y = u(:,end); fn = feval(odefun,x,y,varargin{:});
upre = feval(pred,x,y,H,fn);
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