View/Open - JUWEL - Forschungszentrum Jülich

k
() t
6-85
U dt U
I = CU
+
∫
k & k
k +
. (6.5)
L RL
Die „loaded shunt impedance“ RL ergibt sich aus der Parallelschaltung von R und dem
transformierten Abschlusswiderstand Z0’ des Zirkulators. Nach Differenzierung und Ersetzen
der Ersatzschaltbildgrößen L und C durch die resonatorspezifischen Größen QL und ω0
ergibt sich die klassische Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung:
&
ω
ω R
+ k 0 k
. (6.6)
Q
Q
0 () t U&
2
0 L
() t + ω U () t = I&
() t
U k
k
L
L
Nach [Schilcher98] lässt sich diese Gleichung in Real- und Imaginärteil aufteilen, und man
erhält unter Elimination der HF-Schwingung und höherer Ableitungen das Verhalten der
Einhüllenden, welches zur Simulation des Regelverhaltens ausreichend ist:
ω
mit ω 1/
2 = und ω = ω −ω
Q
2 0
L
& , (6.7)
U k r + ω 1/
2U
k r + ∆ωU
k i = RLω1
/ 2I
k r
& (6.8)
U k i + ω 1/
2U
ki
− ∆ωU
k r = RLω1
/ 2I
k i
∆ 0 die Verstimmung der Kavität. Die Indices r und i stehen
für Real- bzw. Imaginärteil von Kavitätsspannung und Strom. Hierbei kann nicht nur eine
konstante Verstimmung berücksichtigt werden, sondern auch Verstimmungen durch
Mikrophonie, Lorentzkraft und Resonanzfrequenzänderungen durch Druckvariationen.
Die zur Simulation benutzte Stromeinhüllende setzt sich aus dem transformierten Generator-
strom und dem zeitlich veränderbaren Strahlstrom unter Berücksichtigung der synchronen
Phase zusammen. Betrachtet man das Hochfrequenzverhalten der Sender-Zirkulator-
Anordnung, so folgt für den Strom Ig: Ig = Ifor - Iref mit Ifor = Vorwärtsstrom und Iref =
relektierter Strom. Die Spannung Ug am Koppler ist bestimmt durch Ug = Z0*(Ifor+Iref). Durch
die Transformation des Kopplers ergibt sich auf der Resonatorseite:
( I I )
′ g = NU g = NZ0
for ref
(6.9)
U +
und Ig´ = (Ifor-Iref)/N. Ug´ entspricht dabei Uk, also der Spannung an der Kavität, die sich mit
Hilfe der Impedanz Z = R||C||L und dem Strom Ik = Ig´-Ibeam durch die Kavität ergibt zu
⎛ I − I ⎞
= . (6.10)
⎝ N ⎠
for ref
U k Z⎜
− Ibeam
⎟ ≡ U′
g
Aus Gl. (6.9) und (6.10) folgt nach Elimination des Stromes Iref und mit Berücksichtigung von
Gl. (6.4):