Prüfingenieur 31 - BVPI - Bundesvereinigung der Prüfingenieure ...

von Fourier (Gl. (11)) zur Beschreibung der instationären
Wärmeleitung in Festkörpern. Dabei wird
vorausgesetzt, dass keine Wärmequellen oder -senken
im Körperinneren vorhanden sind.
2 2 2
δΘ
⎛ δ Θ δ Θ δ Θ⎞
= a⋅⎜
+ + ⎟
2 2 2
δt
⎝ δx
δy
δz
⎠
mit
Θ Temperatur [K]
t Zeit [s]
λ
2
a = Temperaturleitzahl
[m /s]
ρ ⋅c
p
λ Wärmeleitfähigkeit [W/(mK)]
ρ Rohdichte [kg/m 3]
c p
spezifische Wärme [J/(kgK)]
x, y, z Raumkoordinaten [m]
BRANDSCHUTZ
(11)
Eine analytische Lösung für Gl. (11) lässt sich
nur für den Sonderfall eines homogenen und isotropen
Körpers mit eindimensionalem Wärmestrom und
temperaturunabhängigen thermischen Materialeigenschaften
finden. Zur Berechnung der Temperaturverteilung
innerhalb brandbeanspruchter Bauteile aus
Beton und Stahl müssen die temperaturabhängigen
thermischen Materialeigenschaften Wärmeleitfähigkeit
λ, spezifische Wärme c p und Rohdichte ρ berücksichtigt
werden. Damit ist die Zielgröße der Berechnung,
die Temperatur, von temperaturabhängigen
Eingangsparametern abhängig. Zur Lösung werden
numerische Methoden wie die Finite Element Methode
(FEM) oder die Methode der Finiten Differenzen
mit Integrationsverfahren über die Zeitschritte eingesetzt.
Für baupraktische Fälle werden dabei folgende
Vereinfachungen getroffen:
■ Die Temperaturausbreitung in Bauteillängsrichtung
wird vernachlässigt. In stabförmigen Bauteilen
wird die Temperaturausbreitung nur in der Querschnittsfläche
(zweidimensional) und in flächigen
Bauteilen nur über die Querschnittsdicke (eindimensional)
berechnet.
■ Wasserdampfbewegungen werden nicht erfasst.
■ Beim Beton wird der Energieverbrauch für das
Verdampfen von Wasser und sonstige Energie verzehrende
Vorgänge vereinfacht über die Wahl des Rechenwertes
für die spezifische Wärmekapazität des
Betons im Temperaturbereich 100 – 200 °C berücksichtigt
(Abb. 4).
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Der Prüfingenieur Oktober 2007
Abb. 4: Rechenwerte der temperaturabhängigen spezifischen
Wärmekapazität von Beton
■ Beton wird bezüglich seiner thermischen Materialeigenschaften
als homogener Baustoff angesehen.
Das heterogene Gefüge, Kapillarporen und Risse
werden pauschal in den thermischen Materialgesetzen
erfasst.
In die Berechnung der Temperaturverteilung
gehen die Kennwerte für die thermischen Materialeigenschaften
λ, cp und ρ als charakteristische Größen
Xk mit dem Teilsicherheitsbeiwert γM,fi ein. Dabei
muss unterschieden werden, ob eine Vergrößerung
des Kennwertes die Sicherheit erhöht – dann gilt Gl.
(12) – oder die Sicherheit verkleinert – hierfür gilt Gl.
(13):
Xk
, Θ
X fi,
d =
(12)
γ
M,
fi
X fi,
d = Xk
, Θ
⋅γ
M,
fi
(13)
Die charakteristischen Werte X k werden im
Allgemeinen als 5 %-Fraktile definiert, die Teilsicherheitsbeiwerte
γ M,fi werden in den Brandschutzteilen
der Eurocodes 2 bis 5 und in den zugehörigen Nationalen
Anhängen einheitlich zu γ M,fi = 1,0 festgesetzt.
Für die Berechnung der Temperaturverteilung
in hochbautypischen Bauteilen können die folgenden
Hinweise nützlich sein. Zusätzlich sind die Angaben
in den Handbüchern der benutzten Programme zu beachten.
■ Bei der Diskretisierung der Bauteilquerschnitte
sollte die Größe der finiten Elemente der Temperaturverteilung
angepasst werden. Im Bereich großer
Temperaturgradienten – z. B. an den beflammten
Querschnittsrändern – sollte eine feinere Diskretisierung
als im Querschnittsinneren vorgenommen werden.