El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 1
toda la geometría euclídea. De hecho, la geometría euclídea puede levantarse
a partir de la siguiente ‘construcción’, indicada en la Fig. 1, que se puede
comprobar experimentalmente y que podemos tomar como segundo axioma:
El axioma sobre la métrica
Dados cualesquiera dos puntos, A y B, podemos encontrar un
tercero, que denominamos ‘origen O’, tal que las distancias OA,
OB y AB están relacionados mediante la igualdad
AB 2 = OA 2 + OB 2 . (1.1)
Si las líneas rectas OA y OB se extienden tan lejos como queramos
(como en la Fig. 1), la distancia A’B’ entre cualesquiera otros
dos puntos, A’ y B’, viene dada también por la misma fórmula,
(A ′ B ′ ) 2 =(OA ′ ) 2 +(OB ′ ) 2 . (Observar que AB, A ′ B ′ , etc., denotan
magnitudes simples, como longitudes, no productos.)
Siempre que se puede realizar esta construcción, los matemáticos hablan
de espacio euclídeo y dicen que (1.1) define la ‘métrica’ de tal espacio
(‘métrica’ significa simplemente que las distancias pueden medirse). Puedes
comprobar (1.1) considerando casos particulares. Por ejemplo, tomando OA
= 3 cm (‘cm’ significa ‘centímetro’, con 100 cm =1m)yOB = 4 cm, verás
que AB = 5 cm (3 2 =9y4 2 = 16, de manera que la suma de los cuadrados
es9+16=25=5 2 ). La misma fórmula es satisfecha por OA = 5 cm, OB
=12cmyAB = 13 cm (25 + 144 = 169 = 13 2 ). Si tomas OA = 4 cm y OB
= 5 cm, deberías obtener AB = 6.403 cm, ya que 6,403 es la raíz cuadrada
de 41 (= 16 + 25). Esta construcción nos aporta varias definiciones e ideas
nuevas:
4