El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Ecuación de una esfera. Ya nos hemos encontrado antes, en la sección
5.2, con la ecuación de una esfera centrada en el origen, en términos
de las coordenadas cartesianas. Consideremos ahora el caso de una
esfera centrada en un punto C (con vector posición c) y radio R. La
distancia desde C a la superficie de la esfera es la longitud del vector
r − c y la condición de que el punto r caiga sobre dicha superficie es
|r − c| 2 = R 2 . Expandiendo esta expresión obtenemos
r 2 − 2r · c +(c 2 − R 2 )=0, (5.17)
que es la ecuación de una esfera centrada en el punto c.
Intersección de una línea recta con una esfera. Supongamos que la línea
viene descrita por (5.14) y la esfera por (5.17); el punto r debe satisfacer
ambas ecuaciones. Si introducimos la primera de estas ecuaciones en la
segunda, obtendremos
(a − sb) · (a − sb) − 2(a − sb) · c +(c 2 − R 2 )=0.
Ésta contiene las potencias primera y segunda de la variable s y, por
tanto, es una ecuación cuadrática (ver sección 5.3 del libro 1), que puede
escribirse como
As 2 + Bs + C =0,
donde
A = b 2 =1,
B = 2b · (a − c),
C = a 2 + c 2 − R 2 − 2a · c.
Como sabemos, habrá dos raíces, ambas reales, cuando B 2 > 4AC.
Estos valores de s fijan los dos puntos donde la línea recta corta a la
superficie de la esfera. Si B 2 y4AC son idénticamente iguales, los dos
puntos son el mismo y la recta sólo toca la superficie de la esfera en un
punto. Dicha línea se dice que es tangente a la superficie de la esfera.
47