El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

espaciales podremos determinar de forma precisa el elemento de volumen que
definen.
Ejercicios
(1) Usar la ecuación (6.3), que describe la rotación de un vector tridimensional
alrededor de un eje común, para demostrar que el ángulo entre dos
vectores cualquiera, p y q, permanece invariante tras la rotación.
(2) Demostrar que la magnitud del vector área definido por los vectores a y
b, así como el volumen del paralelepípedo definido por los vectores a, b y c,
son también invariantes bajo la rotación (6.3).
(3) Desarrollar el volumen del paralelepípedo del ejercicio anterior y los vectores
área de sus seis caras en el caso en el que los vectores a, b y c son
a =3e 1 + e 2 , b = e 1 +2e 2 , c = e 1 + e 2 +2e 3 .
Haz un dibujo en el que los vectores área estén representados mediante flechas.
(4) Además del producto triple (6.11), que es una magnitud escalar, existe
también el producto triple vectorial. Dados tres vectores a, b y c, este producto
se define como el producto vectorial de a con b × c: P abc = a × (b × c).
Como P abc es perpendicular a a y b × c, mientras que el último es perpendicular
al plano que contiene a b y c, el producto triple caerá sobre el plano
formado por b y c. Demostrar que
P abc =(a · c)b − (a · b)c.
(Esta demostración es bastante difícil, la cual no utilizaremos a menos que
queramos probar (7.19), al final de este libro. Para obtener el resultado,
deberías introducir los vectores unitarios perpendiculares {e 1 , e 2 , e 3 }, donde
e 2 es paralelo a b y e 3 está contenido en el plano definido por b y c. A
partir de ahí, puedes escribir b = be 2 y c = c 2 e 2 + c 3 e 3 , y también tomar
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 . Una vez expresados los productos vectoriales que
aparecen en P abc = a × (b × c) entérminos de las componentes de a, b, c,
deberías encontrar (observando que b × c = bc 3 e 2 × e 3 = bc 3 e 1 ) que P abc =
a 3 bc 3 e 2 − a 2 bc 3 e 3 . Esta expresión puede reescribirse —sumando y restando
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