El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 14
cual significa asociarle un signo negativo. Ahora, ¿cómo podemos describir
una rotación general?
Cualquier rotación puede realizarse a través de pasos pequeños —por ejemplo,
en pasos de 1 grado. Así, pensemos R θ como el resultado de llevar a
cabo n rotaciones idénticas un ángulo α muy pequeño, es decir, θ = nα y
R θ =(R α ) n , donde utilizamos la notación de ‘potencias’ para referirnos al
producto R α R α ···R α con n factores. De esta manera, n puede identificarse
con una medida del ángulo de rotación θ en unidades de α. SiaR θ le sigue
otra rotación R θ ′ con θ ′ = mα, el resultado será una nueva rotación con ángulo
(m + n)α. La Fig. 14 representa gráficamente las rotaciones que llevan el
vector de posición de un punto P 0 sobre el eje X a P 1 (paso 1), a P 2 (paso 2),
etc., siendo el ángulo de rotación en cada uno de estos pasos muy pequeño
(aquí aparece agrandado para que pueda verse mejor).
La rotación R α envía el punto P 0 , con vector posición r = re 1 +0e 2 (cuyas
componentes son x = r e y = 0 ya que r apunta a lo largo del eje X),
a P 1 , con r ′ = R α = x ′ e 1 + y ′ e 2 . En general, las componentes x e y de
cualquier vector rotado están relacionadas con el seno yelcoseno del ángulo
de rotación. Las definiciones de estas funciones son sin α = y/r y cos α =
x/r, respectivamente. Así, la rotación que lleva a P 1 , cuyas coordenadas son
(x 1 ,y 1 ), implica
r 1 = R α r = x 1 e 1 + y 1 e 2 = r cos α e 1 + r sin α e 2 . (4.11)
Tras repetir la operación n veces, alcanzamos el vector P n ,
r n =(R α ) n r = x n e 1 + y n e 2 = r cos(nα)e 1 + r sin(nα)e 2 . (4.12)
A partir de una representación gráfica, sabemos cómo obtener el valor del
seno y del coseno (midiendo los lados de un triángulo), y también sabemos
sus valores para ciertos ángulos especiales, como θ =2π, π, π/2 o, incluso,
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