El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

tipo (rotación alrededor del eje z) deja invariante la forma de un objeto, su
área superficial y su volumen.
Ahora debemos centrarnos en las ideas de área y volumen con un poco más
de detalle, aunque antes hemos de señalar que lo que hemos dicho sobre la
rotación alrededor de un eje especial se cumple para toda clase de rotaciones.
Esto es fácil de entender, ya que, como hemos visto, un objeto se define en
referencia a tres vectores unitarios; su imagen (tras la rotación) se define de
la misma manera, pero en términos de las imágenes correspondientes a los
vectores unitarios. Por tanto, por ahora nos basta con saber que e 1 , e 2 y e 3
se transforman bajo la rotación. Además, también sabemos que un vector
unitario rotado, que señala en cualquier dirección, puede ser determinado
a partir de los correspondientes cosenos dirección (introducidos justo antes
de la ecuación (5.11)). Si utilizamos l 1 , m 1 y n 1 para fijar la imagen e ′ 1 en
función de su base original (procediendo de igual manera con el resto de
vectores unitarios), obtendremos la forma más general de la transformación,
e 1 → e ′ 1 = l 1 e 1 + m 1 e 2 + n 1 e 3 ,
e 2 → e ′ 2 = l 2 e 1 + m 2 e 2 + n 2 e 3 ,
e 3 → e ′ 3 = l 3 e 1 + m 3 e 2 + n 3 e 3 . (6.5)
Estos vectores mantendrán sus longitudes unidad originales siempre que
e 1 · e 1 = l 2 1 + m 2 1 + n 2 1 =1, etc. (6.6)
y se mantendrán perpendiculares entre sí (cos θ = 0) si se cumple que
e 1 · e 2 = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 =0, etc. (6.7)
de acuerdo con (5.11). Estas son las condiciones generales que debe satisfacer
cualquier rotación para que la imagen de un objeto se mantenga exactamente
igual que el objeto original antes de la rotación. Cuando todas las distancias
yángulo se conservan de esta forma, se dice que el objeto y su imagen son
congruentes. De hecho, casi toda la geometría euclídea está basada en la
idea de congruencia.
6.2. Áreas y volúmenes
A partir de la idea de longitud como la distancia entre los extremos de una
vara de medir, en el capítulo 3 definíamos el área de la superficie de un objeto
rectangular plano (una placa, por ejemplo). Decíamos que esta cantidad, que
era el producto de dos longitudes, tenía “dimensión L 2 ” y se medía contando
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