El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Observar que hemos utilizado los cuadrados de las velocidades en el denominador,
ya que un cambio en la dirección del eje x cambiará el signo de la
velocidad —sin embargo, suponemos que un cambio en la dirección a lo largo
del eje x no debe influir en el resultado final. Además, cuando v es pequeña,
el denominador de (7.13) tiende a1(y,portanto,también γ v ). Así, con la
dependencia de las nuevas ecuaciones de transformación de γ v , cuando los
dos sistemas de referencia a penas se desplazan uno con respecto al otro,
tales ecuaciones se aproximarán a las de la transformación de Galileo (tal
como cabría esperar).
En vez de las tres primeras ecuaciones en (7.11), intentemos ahora
x ′ = γ v (x − vt), y ′ = y, z ′ = z.
Además, en vez de asumir que el tiempo es universal, igual para ambos observadores,
vamos a considerar algo similar a la ecuación anterior. Si escribimos
t ′ = γ v (t − ? × x),
donde ‘?’ representa algo que no conocemos aún, podemos sustituir los valores
de x ′ , y ′ , z ′ y t ′ (dados en las últimas cuatro ecuaciones) por el lado derecho de
(7.12). Comparando ambos lados obtendremos lo que tenemos que elegir para
‘?’. Los únicos términos que contienen sólo a t (no a t 2 ) son c 2 γv 2 ×(−2xt×?) y
2γvxvt. 2 Como no hay nada que compense estos términos en el lado izquierdo
de (7.12), la igualdad nos indica que su suma debe ser cero, lo cual fija el
valor de ‘?’. Para obtener cero, debemos elegir, así, ?= v/c 2 , de manera que
hemos de tomar
(
t ′ = γ v t − v )
c x .
2
Lo que hemos demostrado es que la supuesta invariancia de la ‘métrica’
c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 requiere que las ecuaciones de la transformación de Galileo
cambien, convirtiéndose en
x ′ = γ v (x − vt),
y ′ = y,
z ′ = z,
(
t ′ = γ v t − v )
c x . 2 (7.14)
Éstas son las ecuaciones de las transformaciones de Lorentz, derivadas
por primera vez por el físico y matemático holandés Lorentz (1857–1928),
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