El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 16
Coordenadas cartesianas en tres dimensiones
Ahora ya estamos en condiciones de definir las coordenadas cartesianas (rectangulares)
de cualquier punto P en el espacio tridimensional. Para empezar,
tomamos un plano OXY y dicho punto P , que no está contenido en el plano,
como se ve en la Fig. 16. Si Q es el punto proyectado (perpendicularmente)
del punto P sobre el plano, PQ será elúnico camino más corto desde
P al plano. A esta distancia la llamamos z. Cualquier punto Q que caiga
sobre el plano está definido de forma unívoca (ver sección 2.2) expresando
sus coordenadas bidimensionales (x e y) con respecto a los ejes OX y OY .
Así, pues, la posición de P queda completamente definida una vez damos los
tres números x, y y z, como en la Fig. 16. Además, en el caso de z, debemos
asignarle un signo (±) para indicar si P está sobre el plano o por debajo. Por
convenio, establecemos que z será positivo (estará sobre el ‘lado positivo’ del
plano) cuando una rotación que lleve a OX sobre OY un ‘tornillo’ (con su
extremo justo bajo el punto O hacia arriba (hacia P ).
Los tres ejes OX, OY y QP no se han elegido al azar, ya que el tercero de
ellos debe pasar a través del punto P . En general, nos gustaría poder hablar
sobre todos los puntos del espacio, y no sólo sobre aquellos que se encuentran
sobre una línea especial QP . Es decir, queremos un conjunto de tres ejes
perpendiculares (OX, OY y OZ) tales que todos pasen a través de un origen
común (O) y que puedan utilizarse para describir todos los puntos. Para ello,
necesitamos un teorema
Teorema. Dos líneas rectas perpendiculares a un mismo plano son
paralelas entre sí.
La prueba de este teorema se sigue de la Fig. 17, donde se considera que las
líneas BA y DC son perpendiculares al plano BDE y E se ha elegido de tal
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