El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

positivo únicamente porque normalmente no importa que se refiera a ‘ir’ o
‘venir’ (y, por tanto, decidimos usar el módulo del vector). Igualmente, en
lenguaje vectorial, el área se puede definir como un producto vectorial; la
forma que se muestra en la Fig. 22 (denominada paralelogramo), con dos
pares de lados paralelos, dos de los cuales son los vectores a y b, tiene un
vector área
A = a × b = ab sin θ ab n, (6.8)
donde n es un vector unitario ‘normal’ (es decir, perpendicular) a la superficie.
(Observa que ya no estamos refiriendonos a rectángulos, pues los vectores a y
b forman un ángulo θ ab .) La normal se determina (como en la definición que
sigue a la ecuación (5.8)) de manera que señale en el sentido de un ‘tornillo
que giro a derechas’ en relación a a y b. Cuando hablamos del área de la
superficie, normalmente estamos pensando en la magnitud del vector área,
A = |A|. Sin embargo, si necesitamos conocer la diferencia entre ‘arriba’ y
‘abajo’, siempre debemos recordar que el vector área A puede llevar un signo
(±). Cuando nos refiramos al volumen, nos encontraremos con problemas
muy similares. Por tanto, debemos ocuparnos de ambas cosas con un poco
más de detalle.
Nota. En una primera lectura puedes saltarte las próximas secciones. Sin
embargo, echa un vistazo al capítulo 7.
6.3. El área expresada en forma vectorial
El vector área es importante cuando pensamos en algo que cruce o pase a
través de una superficie. Si la superficie es el extremo abierto de una tubería,
la normal n puede mostrarnos la dirección en la que fluye el agua (por ejemplo,
‘hacia afuera’, a lo largo de n, cuando el vector de (6.8) es una cantidad
positiva de veces n). Si pensamos en la superficie curvada de un paraguas, el
vector área resultante nos dirá cuánto nos cubrirá de la lluvia que cae.
Cualquier tipo de superficie puede construirse a partir de pequeños elementos
(por ejemplo, rectángulos con lados de longitud a y b), cada uno con un
vector área A = An (donde n se elige de acuerdo con la ‘regla de la mano
derecha’). Así, tomemos uno de esos elementos, escribiendo su vector área
como A = A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 , donde (realizando el producto escalar con e 1 )
A 1 = A · e 1 (lo mismo sucede con el resto de componentes). La componente
A 3 es la proyección de A a lo largo de la dirección e 3 (el eje z de la Fig. 23),
es decir, la proyección sobre el plano XY . Cada elemento de la superficie
tiene su propia proyección. Sumando todas las proyecciones obtendremos la
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