El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 17 Figura 18
los planos OY Z, OZX y OXY , respectivamente. Estas distancias dan también
las longitudes de las proyecciones de la línea OP (Fig. 18) sobre los
tres ejes, OX, OY y OZ. Por ejemplo, la proyección OA es la línea desde el
origen O hasta el pie (A) de la perpendicular que va desde P hasta el eje X,
siendo las longitudes OA y QB iguales (son lados opuestos del rectángulo
OAQB; como se sigue del último teorema, ambas líneas son perpendiculares
al plano OY Z).
La geometría del espacio bidimensional (ver sección 2.2) estaba basaba en
la ecuación (2.1), que nos daba la distancia entre dos puntos cualquiera, P
y P ′ , y en la ecuación (2.2), que se satisface cuando dichos puntos están
muy juntos. En el espacio tridimensional, las cosas son bastante parecidas,
excepto que ahora tenemos tres coordenadas. La distancia (r) desde el origen
O hasta cualquier punto P viene dada por
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , (5.1)
mientras que la separación (dr) entre dos puntos infinitamente próximos se
sigue de
dr 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 , (5.2)
donde dx, dy y dz son diferenciales, es decir, un punto P ′ tiene coordenadas
(con respecto a P ) x ′ = x + dx, y ′ = y + dy y z ′ = z + dz.
De nuevo, (5.2) es la ‘forma de la métrica fundamental’, aunque ahora en el
espacio tridimensional real. Como tiene forma de suma de cuadrados en cualquier
punto (y, de acuerdo con (5.1), en cualquier región independientemente
de su extensión), el espacio es euclídeo, satisfaciendo todas las propiedades
descubiertas por Euclides. Cualquier plano se denomina subespacio de dos
dimensiones del espacio tridimensional y cualquier línea recta es un subespacio
de una dimensión. Al igual que la geometría plana se deriva de las
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