El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 24
como en la Fig. 24. Éste es el ‘elemento de volumen’ en el espacio tridimensional.
6.4. El volumen expresado en forma vectorial
En la Fig. 24 vemos que el objeto representado puede reconstruirse por completo
a partir de láminas finas, cada una con la forma de un paralelogramo
con área ab sin θ ab y grosor d, es decir, con un volumen abd sin θ ab . Juntando
un cierto número de este tipo de láminas, una sobre otra, uno puede obtener
de forma aproximada el volumen de cualquier objeto con tres conjuntos de
caras paralelas (un paralelepípedo). La cara de arriba estará a una altura
h = nd sobre la cara de abajo, siendo el volumen total (el de las n láminas)
abh sin θ ab . Ahora, h = c cos φ, donde c es la longitud del vector c y φ es el
ángulo que traza con respecto a la vertical (la normal al plano que contiene
a a y b). Por tanto, tendremos que
V = abc sin θ ab cos φ.
Esta fórmula será exacta en el límite en el que consideramos un gran número
de láminas muy finas.
Al igual que hicimos al ocuparnos del área, ahora también podemos expresar
el resultado anterior de un modo más conveniente en términos de sus componentes.
El factor ab sin θ ab es el módulo del vector área correspondiente al
paralelogramo A = An (n es la normal saliente de la Fig. 22), mientras que
c cos φ = n·c (φ es la letra griega ‘phi’). Así, la fórmula del volumen se puede
expresar como un producto triple,
V =(a × b) · c = c · (a × b). (6.11)
Obviamente, el vector c no es especial en absoluto; si dibujamos la Fig. 24
con los vectores b y c a lo largo de los lados del plano de abajo en vez de
57