El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 10
Para un círculo de radio unidad, r = 1, la primera aproximación fue el área
del cuadrado, donde A 4 =4× ( 1 2 r2 ) = 2, como se infiere de la Fig. 10.
Arquímedes fue capaz de probar que un polígono con 2N lados (en vez de
N) tenía un área A 2N dada por la fórmula
√
A 2N = N √ 2 − 2 1 −
2
( ) 2 2AN
. (3.2)
N
donde A N es el área del polígono de N lados. Utilizando esta fórmula (y dado
que √ 2 ≈ 1,414214), puedes obtener fácilmente el área A 8 de un polígono de
ocho lados (representado en parte por las líneas a trazos en la Fig. 10) en
términos de A 4 :
√
A 8 =2 2 − 2 √ (1 − 1 2 =2 √ 2 ≈ 2,828427.
Compara este valor con el que se obtiene en la primera aproximación, A 4 =2.
Si continuas (necesitarás una calculadora), verás que A 16 ≈ 3,061468. Y si
vas más allá, encontrarás algo muy cercano a 3.141593. Ésta es una buena
aproximación al número que siempre se denota mediante la letra griega π
(‘pi’), que es el límite de una serie (ver la sección 5.1 del libro 1): el área de
un círculo de radio r = 1. Si quieres obtener el área de un círculo de radio
r diferente de 1, es suficiente con que recuerdes que [A] = L 2 (cuando una
longitud se multiplica por r, elárea se multiplicará porr 2 ). De aquí se deriva
la fórmula
Área del un círculo de radio r = πr 2 (π ≈ 3,141593), (3.3)
que necesitaremos a continuación cuando definamos lo que es un ángulo.
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