El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

caso muy particular. Así, pues, la pregunta que nos hacemos es: ¿es posible
elegir las componentes del vector de manera que s sea siempre un vector
unitario, pero que señalará en distintas direcciones de acuerdo con la división
de estudiantes entre los cinco grupos?
Las componentes que hemos utilizado, {(4/40), (8/40), (13/40), (12/40), (3/40), }
no se comportan de esa manera —la suma de sus cuadrados no es igual a
1. Y la suma de de los propios números tampoco da 1. Así que, ¿por qué no
tomar √ 4/40, √ 8/40,..., √ 3/4? Procediendo de este modo, el vector que
describe el estado de la clase será
s = √ 4/40 a + √ 8/40 b + √ 13/40 c + √ 12/40 d + √ 3/40 e
y la suma de los cuadrados de sus componentes dará exactamente 1. Por
tanto, sí que es posible representar el estado de la clase mediante un vector
unitario que apunta, desde el origen en un espacio 5-dimensional, a una dirección
tal que describe la fracción de estudiantes en cada una de las cinco
categorías.
Si queremos comparar dos clases (para ver si las alturas de los estudiantes
sigue el mismo patrón), sólo tenemos que preguntar si los vectores s 1 y s 2
apuntan, más o menos, en la misma dirección. Si es así, su producto escalar
s 1 · s 2 tendrá un valor cercano a 1. Si las clases son muy diferentes (por
ejemplo, uno tiene 5 años y el otro 16), el producto escalar de los vectores
será mucho más cercano a cero.
Este ejemplo trataba sobre estudiantes clasificados en categorías de acuerdo
con sus alturas. Sin embargo, podríamos haber hablado sobre patatas
de distintos tamaños o sobre objetos producidos en una fábrica, no todos
ellos del tamaño apropiado (algunos demasiado grandes y otros demasiados
pequeños). En todos estos casos, en los que nos referimos a categorías, podemos
utilizar el mismo tipo de descripción vectorial. Es más, podemos elegir la
métrica de cualquier manera que nos parezca útil para aquello que tengamos
en mente (como veremos en las dos secciones que vienen a continuación).
7.2. El espacio-tiempo y la relatividad
El punto de partida de este libro era la idea de distancia y cómo ésta podía
medirse usando una ‘regla de medir’ cuya longitud (la distancia entre sus extremos)
era consideraba como la distancia unidad. Además, hicimos mención
al tiempo ycómo éste podía medirse utilizando un ‘reloj’ cuyo péndulo, oscilando
hacia adelante y hacia atrás, marcaba unidades de tiempo. Por último,
también hablamos sobre la masa de un objeto, que podía medirse mediante
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