El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Por otra parte, los objetos que nos encontramos en el espacio tridimensional
tienen ciertas propiedades medibles (al igual que sucedía con la longitud o
el área) que ‘pertenecen’ al objeto y no dependen en absoluto de la elección
del marco de referencia. Como se señaló en el capítulo 3, esas propiedades
son invariantes. Nos gustaría mantener nuestras ecuaciones tan simples y
cercanas como fuese posible a lo que estemos describiendo. Por ejemplo, una
línea es un vector ypodríamos caracterizarla mediante un único símbolo (en
vez de un conjunto de números que cambiarán siempre que cambiemos el
marco de referencia). En la próxima sección vamos a ver cómo hacer esto.
5.3. Utilizando vectores en tres dimensiones
En la teoría algebraica ordinaria de números (ver capítulo 4 del libro 1) representábamos
los números bien mediante puntos sobre una línea recta, bien
mediante desplazamientos que iban desde un origen a dichos puntos. Los
desplazamientos son, de hecho, vectores en un espacio de una dimensión,
siendo cada vector un múltiplo de un ‘paso’ unidad que denominábamos e.
Cualquier vector a puede escribirse como a = ae, donde a es un número que
indica ‘cuántos’ pasos debemos tomar en la dirección e. Sia es un entero, el
desplazamiento llevará a un punto etiquetado por un entero. Sin embargo,
como vimos en el libro 1, esta representación puede generalizarse al caso en
el que a es cualquier número real y a es el vector que lleva al punto respectivo
sobre la representación gráfica. Las reglas para combinar vectores en un espacio
monodimensional se dieron en el libro 1; la suma de dos desplazamientos,
a y b, se obtiene poniendo uno a continuación del otro (el punto final de uno
es el punto inicial de l otro), sin importar cuál de ellos se toma primero. Así,
a + b = b + a, (5.4)
y si hay tres vectores, tampoco importa cómo los combinemos,
(a + b)+c = a +(b + c). (5.5)
También podemos multiplicar un vector por cualquier número real, al igual
que cuando escribimos a como un número de veces a de unidades e: a = ae.
Intentemos hacer lo mismo ahora en el espacio tridimensional. En primer
lugar, ahora habrá tres tipos diferentes de pasos unidad (a lo largo de los
ejes X, Y y Z) que denominaremos e 1 , e 2 y e 3 , respectivamente. Estos serán
los vectores base de nuestro álgebra, que tomamos de longitud unidad
(‘pasos unidad’). Un vector que señala desde el origen O al punto P (x, y, z)
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