El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Capítulo 7
Otros tipos de espacios
7.1. Espacios multidimensionales
Hasta aquí hemos estado hablando principalmente sobre espacios euclídeos
de 2 ó 3 dimensiones (espacios 2-dimensionales y 3-dimensionales). Estos son
espacios vectoriales que contienen todos los vectores (v) que pueden ser expresados
como v = v 1 e 1 +v 2 e 2 (espacio 2-dimensional) ó v = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3
(espacio 3-dimensional), donde {e 1 , e 2 , e 3 } son vectores base y los coeficientes
{v 1 ,v 2 ,v 3 } son números algebraicos denominados componentes vectoriales.
Para tener en cuenta ambos casos, podemos generalizar y escribir cualquier
vector como
v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + ... v n e n , (7.1)
donde n = 2 se aplicaría a un vector en dos dimensiones y n = 3 a uno en tres
dimensiones. Recuerda que cada vector tiene una longitud (o magnitud) y
una dirección, que a menudo se representa como una flecha con una longitud
y una dirección dadas. (Los matemáticos denominan a la flecha “segmento
lineal direccionado”.)
Por otra parte, también debemos recordar que las componentes {v 1 ,v 2 ,...}
relacionan al vector con la base y, por tanto, nos posibilitan etiquetar cualquier
punto P del espacio como P (v 1 ,v 2 ,...). Los números {v 1 ,v 2 ,...} son
las componentes del vector posición (denotado a menudo mediante r) que
corresponde a la línea OP, que apunta hacia el punto P desde el origen O.
También se les suele denominar coordenadas del punto P . Hasta aquí hemos
considerado siempre que los vectores base eran de longitud unidad y perpendiculares
entre sí. En el lenguaje del capítulo 6, cualesquiera dos vectores
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