El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

como podamos trazarlas’ sobre una superficie esférica. Tales líneas siguen el
camino más corto entre dos puntos A y B sobre la superficie. Estas líneas
se denominan geodésicas, de las palabras griegas para ‘Tierra’ y ‘medida’.
Si un barco navega desde le punto A sobre la superficie de la Tierra a otro
B, siempre manteniendo la misma dirección, y después se dirige a un tercer
punto C (desde B), el camino de tres lados ABC se denomina triángulo
esférico. La geometría de tales caminos la han estudiado los marineros
durante cientos de años y conducido a la rama de las matemáticas que se
denomina trigonometría esférica.
B
✜ ✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
✜
a
✜
O✜
α γ ◗ ◗◗◗◗◗◗◗◗C β
b
c
A
Figura 26
Lo que queremos obtener ahora es la forma de la métrica que determina
la distancia entre dos puntos en un espacio curvo 2-dimensional —los puntos
sobre una superficie esférica ‘embebida’ en el mundo 3-dimensional en
el que vivimos. Si podemos hacerlo en este caso, tendremos una idea sobre
cómo hacerlo para un espacio curvo 3-dimensional embebido en un espacio
4-dimensional (o, incluso, para un espacio curvo 4-dimensional embebido en
un espacio 5-dimensional). Es importante notar el hecho de que si queremos
‘doblar’ un espacio, siempre necesitaremos (al menos) una dimensión
extra para describir este plegamiento —no podemos describir la superficie de
una esfera, que es 2-dimensional, sin una tercera dimensión para describir la
propia esfera.
Antes de nada, necesitamos generalizar la ‘ley del seno’ y la ‘ley del coseno’,
que, como vimos en la sección 5.5, se aplican a un triángulo con vertices A,
B y C sobre una superficie plana. Lo que queremos son resultados similares
para una superficie esférica como la mostrada en la Fig. 26. Supongamos, así,
que A, B y C son los vectores posición de los puntos A, B y C en relación con
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