El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

si trazas un mapa debes recordar que la superficie de la Tierra es curvada y,
por tanto, para distancias pequeñas (por ejemplo, de la escala de tu ciudad)
puedes utilizar (2.2), pero no para distancias más grandes (por ejemplo, de la
escala de tu país). Estrictamente hablando, (2.2) es cierta sólo ‘en el límite’
(ver el capítulo 4 del libro 1) en el que las distancias van a cero. El espacio
puede ser localmente euclídeo. En los últimos cien años nuestra idea del espacio
ha cambiado mucho, a pesar de que en la vida diaria podemos emplear
la geometría euclídea sin ningún problema.
Ahora podemos preguntarnos sobre cómo se describe una línea recta mediante
coordenadas cartesianas rectangulares. Supongamos que tal línea corta al
eje y por el punto A, con coordenadas (0,c), y que queda totalmente fijada
dando las coordenadas (x 1 ,y 1 ) de otro punto B que cae sobre la misma (ver
Fig. 5). Los puntos A, B y C definen un triángulo rectángulo cuyos lados AC
y BC tienen longitudes tales que BC/AC = m. En tal caso, decimos que los
lados se encuentra en una relación m (independientemente de las unidades
que utilicemos para medirlos). En términos de coordenadas, esto significa
que y 1 − c = mx 1 , de donde se sigue que las coordenadas (x, y) decualquier
punto D, sobre la misma línea, están relacionadas de un modo similar:
y = c + mx. (2.3)
Para probar que el nuevo punto D, cuyas coordenadas vienen dadas por (2.3),
cae sobre el mismo camino más corto que une A y B, podemos utilizar la
fórmula de la longitud (2.1). Así, AB 2 =(y 1 − c) 2 + mx 2 1 =(1+m 2 )x 2 1,
AD 2 =(1+m 2 )x 2 y DB 2 =(1+m 2 )(x 1 −x) 2 . Tomando las raíces cuadradas
de estas cantidades encontramos que
AB = √ 1+m 2 x 1 , AD = √ 1+m 2 x y DB = √ 1+m 2 (x 1 − x).
De estas relaciones se sigue que AD + DB = AB, lo que significa que los dos
caminos, AB y ADB (es decir, ir de A á B pasando por D), tienen la misma
longitud (la del camino más corto entre A y B). Cuando las coordenadas de
cualquier punto D están relacionadas mediante (2.3), el punto cae sobre la
línea recta que pasa a través de A y B.
Decimos que (2.3) es la ‘ecuación de la línea recta’, donde m = BC/AC es
la pendiente de la recta y c = OA es el punto de corte con el eje y.
Observar que la ecuación (2.3) describe cualquier línea recta sobre el plano
OXY y que la prueba que acabamos de dar no depende del punto D entre
A y B. Por ejemplo, si x>x 1 , la Fig. 5 mostraría que D cae sobre el tramo
de línea que se extiende más allá deB. Siguiente un argumento similar, B
debería caer sobre la línea recta AD. No obstante, no es necesario dibujar una
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