El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 20 Figura 21
origen O y a un conjunto de vectores unitarios {e 1 , e 2 , e 3 }, se pueden escribir
como
p = p 1 e 1 + p 2 e 2 + p 3 e 3 q = q 2 e 1 + q 2 e 2 + q 2 e 3 ,
donde (para evitar confusiones) utilizamos p 1 , p 2 y p 3 para las componentes
de p en vez de x, y y z (con las componentes de Q hacemos lo mismo). El
vector que apunta de P a Q (que se representa a menudo como PQ) ⃗ viene
dado por la diferencia
PQ ⃗ = d PQ = q − p =(q 1 − p 1 )e 1 +(q 2 − p 2 )e 2 +(q 3 − p 3 )e 3 .
La transformación más sencilla que podemos realizar es una traslación,enla
que un punto P es desplazado al lugar de su imagen P ′ , con vector posición
p ′ = p + t, donde t es un vector constante. Está claro, según la Fig. 20, que el
vector de P ′ a Q ′ es exactamente el mismo que el que va de P a Q (antes de
haber desplazado el objeto). Esta idea puede expresarse mediante la ecuación
d P ′ Q ′ = q′ − p ′ =(q + t) − (p + t) =q − p = d PQ . (6.1)
El vector que separa ambos dos puntos es invariante bajo traslación.
A continuación consideremos el hecho de rotar el objeto hasta alcanzar una
nueva posición. Esto es más difícil porque ahora un punto imagen P ′ tiene
un vector posición p ′ que se relaciona con p de una manera más compleja.
Sin embargo, podemos estudiar un caso simple, como es la rotación de un
objeto alrededor de un eje, por ejemplo, el eje z, con vector unitario e 3 . Una
rotación cambia los elementos de espacio, pero no los números. Así, veamos
lo que sucede con los vectores e 1 , e 2 y e 3 . En la Fig. 21 se muestra que una
rotación de un ángulo θ alrededor de e 3 (que apunta hacia fuera de la página)
posee el siguiente efecto:
e 1 → e ′ 1 = cos θe 1 + sin θe 2 ,
e 2 → e ′ 2 = − sin θe 1 + cos θe 2 ,
e 3 → e ′ 3 = e 3 , (6.2)
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