El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

ase e i y e j tienen producto escalares
e i · e j = 1 si i = j
e i · e j = 0 si i ≠ j
(7.2)
para todo valor de i y j dentro del rango 1, 2,...,n. Ésta es la elección con
la que comenzamos en el capítulo 1, considerándola como el “axioma de la
métrica” para el espacio 2-dimensional. La misma elección, pero con n =3,
nos conduce al espacio 3-dimensional del capítulo 6. En cualquier caso, las
propiedades (7.2) nos permiten expresar la longitud de cualquier vector como
una ‘suma de cuadrados’. En tres dimensiones, por ejemplo, tendremos
|v| 2 = v · v =(v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) · (v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 )=v 2 1 + v 2 2 + v 2 3, (7.3)
donde no hay términos cruzados tales como v 1 v 2 debido a que e 1 · e 2 =0.
Los productos escalares de los vectores base se expresan a menudo en forma
de ordenamiento cuadrado como el siguiente
⎛
⎞
e 1 · e 1 e 1 · e 2 e 1 · e 3
⎝ e 2 · e 1 e 2 · e 2 e 2 · e 3
⎠ =
e 3 · e 1 e 3 · e 2 e 3 · e 3
⎛
⎝
1 0
⎞
0
0 1 0 ⎠ . (7.4)
0 0 1
Un ordenamiento de este tipo se denomina matriz métrica del espacio;
todos los espacios de esta clase, en los que la longitud se puede definir en
términos de (7.3), se llaman “espacios métricos”.
Nada de lo que hemos dicho hasta ahora depende de que n sea igual a2ó3;
la generalización más simple de nuestras ideas sobre la geometría consiste
en mantener todo, pero permitir que n puede ser mayor que tres. En tal
caso hablamos de de “espacios n-dimensionales”. El hecho de que no podamos
imaginarlos porque estemos viviendo en un espacio 3-dimensional nos es
importante. Si les podemos encontrar un uso, entonces los usaremos.
Así, consideremos el caso n = 5, que consideraremos como un ejemplo de
espacio 5-dimensional. En el capítulo 6 del libro 1, hablábamos de un ‘espacio’
(aunque no lo llamábamos de esta manera) en el que había cinco categorías
de estudiantes en una clase de 40. Las categorías se definían colocando a los
estudiantes en grupos diferentes de acuerdo con sus alturas:
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