El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 12
a ser A ′ y B ′ , respectivamente. Sin embargo, el ángulo A permanece invariable
bajo esta operación, es decir, A = A ′ y, de igual modo, B = B ′
(los ángulos opuestos son iguales). Resumiendo, cuando dos líneas se
cruzan originan dos pares de ángulos iguales, siendo los ángulos de cada
uno de esos pares (por ejemplo, A y B) complementarios.
• Cuando una línea recta cruza dos líneas paralelas, como en la Fig. 12(c),
se producen dos pares de ángulos iguales, A ′ = A y B ′ = B. Deslizar
la figura de manera que enviamos A á A ′ y B a B ′ es otro tipo de
transformación (ver sección 3.1) que no cambia los ángulos. Tales pares
de ángulos se denominan ‘alternos’.
• Añadiendo otra línea recta a la última figura [Fig. 12(c)], creamos un
triángulo [Fig. 12(d)] con tres ángulos ‘internos’, A, B y C. Ahora,
a partir de los dos últimos resultados, A ′ (que es opuesto al ángulo
alterno á A) es igual á A y, del mismo modo, C ′ = C. Además, la
suma de A ′ (= A), B y C ′ (= C) eselángulo π de la Fig. 12(a). De este
resultado se sigue que la suma de los ángulos interiores de un triángulo
es π radianes (es decir, 180 grados ó dos ángulos rectos).
Euclides y su escuela demostraron una gran cantidad de resultados de este
tipo, cada uno derivado de aquellos que ya habían sido obtenidos previamente.
Todos estos teoremas se enumeraron y coleccionaron, y aún hoy pueden
encontrarse en cualquier libro de texto sobre geometría.
24