El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

significaría que existe otro punto de cruce, Q ′ , tal que BQ ′ ≠ BQ y PQ ′ ≠
PQ, aunque sabemos que la perpendicular desde B sólo puede cortar a otra
recta a través de un punto que ya hemos encontrado antes. Así, pues, (a)
debe ser cierta, de donde se sigue el teorema: BQ es perpendicular a PQ.
La prueba del teorema introduce otras ideas:
(i) Las ‘figuras’ planas (o formas), como la ‘caja’ de la Fig. 2, aparecen
cuando dos pares de líneas rectas paralelas se cortan formando un ángulo
recto. Estas formas se denominan rectángulos, cuyos lados opuestos poseen
igual longitud. Cuando todos los lados tienen la misma longitud, la forma se
denomina cuadrado.
(ii) El camino más corto entre un punto y una línea recta es el que va sobre la
línea recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la recta en cuestión.
Este camino es único.
(iii) El camino más corto entre dos líneas rectas paralelas (sobre un plano),
es el que va sobre una línea recta perpendicular a las dos. Todos los caminos
que pueden trazarse de este modo entre ambas líneas paralelas poseen la
misma longitud. Esto descarta la posibilidad de que ambas líneas se puedan
encontrar alguna vez (éste es uno de los primeros axiomas de Euclides), ya
que el camino más corto debería tener longitud cero para todo par de puntos
y entonces ambas líneas serían coincidentes (es decir, sólo habría una).
2.2. Puntos y líneas rectas en el espacio bidimensional
Llegados a este punto, estamos en condiciones de describir cualquier punto
sobre un plano mediante dos números (en concreto, éstos son distancias,
aunque, como vimos en el capítulo 1 del libro 1, a menudo los denominaremos
‘números’, de manera que cada distancia se corresponde con un cierto número
de unidades). Supongamos que el plano está definido mediante dos ejes, OX
y OY , que, como en la Fig. 3, consideramos perpendiculares. Desde cualquier
punto P podemos “tirar” dos perpendiculares sobre OX y OY ; la posición
del punto P queda fijada, así, asignando dos distancias, OQ (= RP )yOR
(= PQ) —las igualdades se siguen del hecho de que ORPQ es un rectángulo.
Estas dos distancias, que denotamos mediante x e y, respectivamente, se
denominan coordenadas rectangulares o cartesianas de P con respecto
a los ejes OX y OY . Por simplicidad, siempre utilizaremos ejes que son
perpendiculares; x e y también se denominan proyecciones sobre los ejes de
la línea OP, que va desde el origen hasta el punto P . Cualquier punto sobre
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