El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 11
de la misma magnitud en sentido anti-horario equivale a no rotar el sistema.
Si denotamos una rotación positiva mediante R y su inversa mediante R −1
(rotación negativa), la afirmación anterior significa que
RR −1 = R −1 R = I.
Lo próximo que debemos hacer es acordar un criterio para medir ángulos.
Hay un método ‘práctico’ que se basa en el hecho de que una rotación completa
de la línea OP alrededor del punto O (a la cual nos referimos como 1
‘vuelta’) equivale a no hacer nada. El ‘grado sexagesimal’ (a partir de ahora
acortaremos y diremos simplemente ‘grado’) es un ángulo pequeño, tal que
360 grados equivalen a 1 vuelta; el ángulo entre dos líneas sobre un plano
puede medirse, por tanto, mediante un número (de grados) entre 0 y 360.
Así, a diferencia de las distancias (que pueden ser tan grandes como queramos),
los ángulos están acotados. Esto no significa que el desplazamiento
angular está acotado. Como sabemos, al atornillar un tornillo, por ejemplo,
cada vuelta (rotación de 360 grados) es importante; esta operación puede
realizarse una y otra vez para obtener ángulos de rotación cada vez mayores.
Por tanto, lo que está acotado es únicamente el ángulo entre dos líneas. En el
caso del tornillo la rotación tiene un efecto hacia afuera con respecto al plano;
en tal caso hablar de ángulos de rotación mayores de 360 grados resulta útil.
Una manera más fundamental de medir ángulos se deriva de la ecuación (3.3)
para el área de un círculo. Si usamos θ para denotar el ángulo XOP en la
Fig. 11 (los ángulos se denotan generalmente utilizando letras del alfabeto
griego; θ se pronuncia ‘teta’ o ‘zeta’), la ‘medida circular’ del θ viene dada por
la relación entre dos longitudes: θ = arco/radio, donde el ‘arco’ es la longitud
de la parte del círculo entre el punto P y el eje X. Esta magnitud es un
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