El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

está multiplicada por −1 si cambiamos su orden (por ejemplo, en el caso
‘1,2’ → ‘2,1’) —es antisimétrico bajo el intercambio de subíndices. Para
este tipo de cantidades existe una notación especial; escribimos
a 1 b 2 − a 2 b 1 =
∣ a ∣ 1 a 2 ∣∣∣ ,a
b 1 b 1 b 3 − a 3 b 1 =
2
∣ a ∣ 1 a 3 ∣∣∣ ,a
b 1 b 2 b 3 − a 3 b 2 =
3
∣ a ∣
2 a 3 ∣∣∣
,
b 2 b 3
de tal manera que, de cada ordenamiento a la derecha, la componente correspondiente
de la izquierda resulta del producto de los números de la ‘diagonal
principal’ (por ejemplo, a 1 ,b 2 ) menos el producto de los de la ‘diagonal secundaria’
(por ejemplo, b 1 ,a 2 ). Utilizando esta notación, el producto vectorial
anterior puede expresarse como
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ a
a × b = e 2 a 3 ∣∣∣ ∣∣∣ a
1 − e 1 a 3 ∣∣∣ ∣∣∣ a
b 2 b 2 + e 1 a 2 ∣∣∣
3 b 1 b 3 . (6.9)
3 b 1 b 2
Cada ordenamiento, con la regla para ‘realizar la multiplicación’ que permita
obtener un único número, se denomina determinante. Enpróximos libros
nos volveremos a encontrar con los determinantes. Determinantes similares
a estos pueden construirse con cualquier número de filas y columnas, los
cuales pueden ‘expandirse’ en términos de otros determinantes más pequeños.
Para demostrar cuán útiles pueden ser ayudarnos a recordar cosas bastante
complicadas, echemos un vistazo a la expresión para el producto vectorial
(6.9) como si se tratase de un único determinante con tres filas y columnas.
Así, pues, tendremos
∣ e 1 e 2 e 3 ∣∣∣∣∣
a × b =
a 1 a 2 a 3 . (6.10)
∣ b 1 b 2 b 3
Para expandir este determinante ‘3×3’ como (6.9), hay que tomar el elemento
de la primera fila y la primera columna (e 1 ) y multiplicarlo por el determinante
‘2×2’ que queda cuando eliminas dichas fila y columna. A continuación,
consideras el siguiente elemento de la primera fila (e 2 ) y procedes de la misma
manera, multiplicando por el determinante que resulta de eliminar la primera
fila y la segunda columna. Una vez hecho esto, pasas al último elemento de
la primera fila (e 3 ) y lo multiplicas por el determinante que queda cuando
eliminas la primera fila y la columna que lo contiene. Finalmente, sumas las
tres contribuciones que has obtenido (una para e 1 , otra para e 2 y una tercera
para e 3 ), aunque al desplazarte a lo largo de la primera columna (tal como
hemos hecho) no debes olvidarte de multiplicar las contribuciones alternas
por −1. Si utilizas esta recta tan sencilla, obtendrás (6.9).
Ahora ya si que estamos listos para determinar el volumen de una ‘caja’
(denominada paralelepípedo) que viene definida por tres vectores {a, b, c},
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