El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Capítulo 4
Las rotaciones
Una de las grandezas de las matemáticas es que contiene muchos ‘trozos y
trocitos’, los cuales puede juntarse como ladrillos para construir nuevas ideas
y teorías. Estos pequeños trozos son tan útiles que, una vez comprendidos,
nunca se olvidan. Para hablar de ángulos y rotaciones necesitamos usar vectores
(ver sección 3.2 del libro 1), las propiedades de índices (ver sección 4.2
del libro 1), las series exponenciales (ver sección 5.1 del libro 1), los números
complejos (ver sección 5.2 del libro 1) y la idea de rotación como operador
(ver sección 6.1 del libro 1).
Comencemos con un vector apuntando a un punto P desde el origen O,
como en la Fig. 13. En una rotación alrededor de O, tal vector gira cierto
ángulo θ. Al igual que en la sección 6.1 del libro 1, podemos considerar esta
operación como el resultado de aplicar un operador de rotación R θ . Hay una
propiedad de combinación para tales operadores:
R θ ′R θ = R θ+θ ′,
(no olvides que en la sección 6.1 del libro 1 acordamos que el operador más a
la derecha actúa primero) y para cada operador R θ hay un operador inverso,
R −1
θ , con la propiedad R θ R −θ = R −θ R θ = I,
donde I es el operador identidad (una rotación con ángulo cero). Estas
propiedades definen un grupo (ver sección 6.1 del libro 1) con un número
infinito de elementos, ya que θ puede tomar cualquier valor entre 0 y 2π
(rotaciones de ángulos θ +2π no se consideran diferentes R θ ). A continuación
expresaremos todo esto mediante símbolos.
En el espacio bidimensional cualquier punto P viene determinado por sus
coordenadas (x, y); para alcanzarlo, comenzando desde el origen (donde x =0
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