El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

denominan un “conjunto espectral”, que aquí hemos establecido mediante un
ejemplo muy práctico en vez de en forma abstracta, como habría hecho un
matemático de verdad.
Regresemos de nuevo a los espacios vectoriales. El álgebra constituye una manera
de tratar la selección, y la geometría otra alternativa. Cuando utilizamos
el vector (7.5) representando el ‘estado’ del colegio, estamos asumiendo en
realidad que a, b,...,e son ‘vectores base’ o ‘pasos unitarios’ a lo largo de cinco
ejes distintos. Además, podemos asignarles cualquier propiedad que queramos
—por ejemplo, suponer que cada uno de ellos es perpendicular al resto,
incluso aunque eso fuese imposible dentro de una mentalidad 3-dimensional.
Así, pues, la matriz métrica ya no será (7.4); ahora tendrá cinco ‘unos’ a
lo largo de la diagonal principal y ceros los restantes lugares. Puede parecer
extraño, pero ¿qué importa? Únicamente estamos utilizando un lenguaje
matemático y, por tanto, sólo depende de nosotros decidir cómo deberían
comportarse los símbolos. Una vez que lo hemos decidido, podemos considerar
s, en (7.5), como un vector 5-dimensional construido a partir de tomar
4 pasos del tipo a, 8 pasos del tipo b, y así sucesivamente, y luego sumarlos
(por ejemplo, uno tras otro, como en la Fig. 19). La longitud al cuadrado de
este vector, con su métrica, vendrá dada por la suma de los cuadrados de sus
componentes.
Ahora podemos echar un vistazo a los operadores selección desde el punto de
vista geométrico. Así, As =4a es simplemente la proyección del vector s sobre
el eje definido por el vector unitario a, mientras que Bs =8b es su proyección
sobre el eje b. La propiedad AA = A significa únicamente que proyectar
dos veces sobre un eje dado es equivalente a hacerlo una sola vez, mientras
que BA = 0 quiere decir que cualquier proyección sobre el eje a tendrá una
proyección nula sobre el eje b (éste es el motivo por el que elegimos vectores
unitarios perpendiculares, con productos escalares nulos).
Algunas veces es útil cambiar esta representación geométrica ligeramente. Por
ejemplo, si queremos comparar dos clases diferentes —de tallas diferentes—,
nos interesarían más los números fraccionarios que representan a los estudiantes
de grupos distintos. En tal caso, podríamos utilizar un vector
s =(4/40)a +(8/40)b + (13/40)c + (12/40)d +(3/40)e
para describir el estado de la clase, donde las proyecciones a lo largo de
los cinco ejes representarán dichas fracciones directamente. En tal caso, el
‘puntero’ s, que representa cómo los estudiantes están divididos entre los cinco
grupos, no tendría propiedades demasiado elegantes. Si todos los estudiantes
perteneciesen al mismo grupo (a), tendríamos s = (40/40)a = a, loque
equivaldría a tener un vector unitario a lo largo del eje a, pero éste es sólo un
64