El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Distancia de un punto a un plano. La distancia perpendicular desde el
origen a un punto P contenido en el plano, dada por (5.15), es p = r · n.
Igualmente, dado cualquier otro punto P ′ , con vector posición r ′ ,la
distancia desde el origen será p ′ = r ′ · n, donde estamos considerando
que el punto P ′ está contenido en un plano paralelo (con la misma
normal n). La distancia requerida es, por tanto,
d = p ′ − p = r ′ · n − p,
que será positiva cuando P ′ esté sobre el plano dado (definido por P ),
yendo desde el origen hacia afuera y en la dirección n.
Intersección de dos planos. El ángulo θ entre dos planos mide el ángulo
entre sus respectivas normales y se deriva de la relación
cos θ = n · n ′ ,
donde n y n ′ son los dos unitarios normales. Si θ es cero, los planos
serán paralelos. En cualquier otro caso, dichos planos se cortan. Para
determinar la región de corte, debemos darnos cuenta de que un punto
(con vector posición r) que caiga sobre ambos planos debe satisfacer
las ecuaciones de ambos planos al mismo tiempo, es decir, r · n = p y
r · n ′ = p ′ . En tal caso se dice que cae sobre la línea de intersección.
Multiplicando ambas ecuaciones por cualesquiera dos números c y c ′ y
sumando después el resultado, obtendremos
r · (cn − c ′ n ′ )=cp − c ′ p ′ .
Esta es la ecuación de un plano con su normal en la dirección cn−c ′ n ′ ,es
decir, de un plano atravesado por la línea de intersección de los planos
anteriores y que depende de los valores asignados a c y c ′ .
Ahora, un vector dn + d ′ n ′ (d y d ′ son dos números a determinar), que
comience en el origen, contendrá las normales a ambos planos (n y n ′ )y,
por tanto, cortarálalínea de intersección. Tomamos este vector como el
vector a de la ecuación (5.14), eligiendo d y d ′ de tal manera que el punto
caiga sobre ambos planos. Así, pues, ya sólo necesitamos la dirección, el
vector unitario b de la ecuación (5.14), para fijar la recta. Como la recta
de intersección es perpendicular a ambas normales, podemos tomar b
como el vector producto n×n ′ , definido en la sección 5.4. Juntando todo
esto, obtenemos finalmente la ecuación de la recta de intersección,
r = dn + d ′ n ′ + sn × n ′ , (5.16)
donde el valor de s varía a medida que te desplazas sobre la recta.
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