El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

A partir de la definición de producto escalar (ver sección 5.2), b · c =
bc cos θ cuando ambos vectores señalan hacia afuera desde el punto de
intersección, lo que significa girar c, convirtiéndolo en −c. Teniendo en
cuenta esto, junto con el proceso análogo para los otros lados (que se
obtienen repitiendo la operación mencionada antes, pero considerando
los vértices A y C en vez de B), nos da la ‘ley del coseno’:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B (5.13)
c 2 = a 2 + b 2 − 2ca cos C.
Ecuación vectorial de una línea recta. Supongamos que queremos determinar
la línea que pasa a través del punto A, con vector posición
a, y que es paralela a un vector dado b —que puede ser de longitud
unidad o unitario (b 2 = b · b = 1). Un punto cualquier P sobre la línea,
con vector posición r, vendrá dado por la ecuación
r = a + sb, (5.14)
donde s es cualquier número variable. Esta es la ecuación que necesitamos.
Si en vez de esa ecuación, lo que queremos es la ecuación de una
recta que pase a través de dos puntos A y B (con vectores posición a y b,
respectivamente), simplemente reemplazaremos b en la ecuación (5.14)
por el vector b − a, que apunta de A á B. El resultado final es
r = a + s(b − a).
Ecuación vectorial de un plano. Supongamos que ON es la normal
al plano, trazada desde el origen de coordenadas O al pie de la perpendicular
al plano, representado por el punto N (que, obviamente,
está contenido en dicho plano), y que n es un vector unitario en la dirección
ON ( ON ⃗ = pn, donde p es la distancia perpendicular desde O
al punto N, contenido en el plano). Si r es el vector posición de un punto
cualquiera P contenido en el plano, su proyección (ver sección 5.2)
sobre la línea ON debe tener la misma longitud p. Es decir,
r · n = p (5.15)
será la ecuación que define al plano con normal unitaria n y localizado
a una distancia p del origen.
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