El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

Figura 22
Figura 23
proyección del vector área sobre el plano XY correspondiente a la superficie
completa. Si el plano XY es el suelo y la superficie es un trozo de tabla que
utilizas para protegerte de la lluvia, entonces
A 3 = A · e 3 = An · e 3 .
Esta proyección será elárea total de la tabla cuando la agarras horizontalmente,
de manera que n · e 3 = 1. Sin embargo, si la agarras de lado, de tal
forma que n sea paralelo al suelo, entonces n · e 3 =0yelárea proyectada
será cero (no te cubrirá en absoluto).
El vector área es un concepto muy útil, como veremos en otros libros. Por
ejemplo, el vector área de cualquier superficie cerrada (como la de una caja
rectangular) es siempre cero. Observa que, en este ejemplo, lados opuestos
tienen el mismo área, pero sus normales (apuntando hacia afuera de la superficie)
tienen direcciones opuestas, de manera que el vector suma es cero.
Éste es un resultado general, que significa que nada puede fluir hacia afuera
o hacia adentro a través de una superficie cerrada (para ello deberías hacer
un agujero en ella).
Antes de comenzar con el volumen, será útil mostrar cómo el vector área
puede escribirse en términos de componentes. El vector área de un elemento
de superficie definido en la Fig. 22 mediante los vectores a y b, con a =
a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 y b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ,esA = a × b. Recordando que
e 1 × e 2 = e 3 = −e 2 × e 1 etc. y que e 1 × e 1 = 0, etc., tendremos que A puede
expresarse como
a × b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) × (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 )
= (a 1 b 2 − a 2 b 1 )e 3 − (a 1 b 3 − a 3 b 1 )e 2 +(a 2 b 3 − a 3 b 2 )e 1 .
Para recordar este tipo de resultados, debemos observar que cada componente
depende de dos subíndices (por ejemplo, en el primer caso de ‘1’ y ‘2’) y
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