El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

considerar a y b, obtendremos una fórmula diferente para el mismo volumen.
De este modo, vemos que
V = a × b · c = b × c · a = c × a · b
= a · b × c = b · c × a = c · a × b
son todas ellas expresiones para el mismo volumen. Las posiciones relativas
de ‘puntos’ y ‘cruces’ no importan, razón por la que el vector producto triple
se suele escribir a menudo como [a bc], de manera que el último resultado
se expresa como
V =[abc]=[bca]=[cab],
donde las diferentes formas proceden de un intercambio cíclico: abc →
bca → cab. Observa que cuando los tres vectores forman un sistema que
satisface la regla de la mano derecha, como en la Fig. 24, el volumen V dado
en esta forma es siempre una cantidad positiva. Sin embargo, si cambias este
orden, el signo del resultado se invierte. Aunque no necesitamos preocuparnos
por esto (normalmente sólo nos interesa la magnitud del volumen), es preciso
mantenerlo en mente.
Finalmente, vamos a expresar V en términos de las componentes rectangulares
de los vectores a, b y c, como hicimos en el caso del vector área. Así,
escribiendo V = a · b × c y utilizando la ecuación (6.9), pero con b y c en
lugar de a y b, obtendremos
( ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣)
∣∣∣ b
V =(a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) · e 2 b 3 ∣∣∣ ∣∣∣ b
1 − e 1 b 3 ∣∣∣ ∣∣∣ b
c 2 c 2 + e 1 b 2 ∣∣∣
3 c 1 c 3 .
3 c 1 c 2
A partir de las propiedades de los vectores unitarios cartesianos, (e 1 · e 1 =1,
e 1 · e 2 = 0, etc.) esto nos lleva a
( ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣)
∣∣∣ b
V = a 2 b 3 ∣∣∣ ∣∣∣ b
1 − a 1 b 3 ∣∣∣ ∣∣∣ b
c 2 c 2 + a 1 b 2 ∣∣∣
3 c 1 c 3 .
3 c 1 c 2
Como podemos comprobar, ésta es la forma expandida de un determinante
‘3×3’, como en (6.10). Por tanto, podemos escribir
∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣
V =
b 1 b 2 b 3 . (6.12)
∣ c 1 c 2 c 3
Éste es un resultado muy general; los vectores a, b y c pueden apuntar en cualquier
dirección y tener cualquier longitud. Conociendo sus tres componentes
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